Probabilitat dies de pluja

Sabem que la probabilitat que demà plogui és $0.4$; que plogui demà passat és $0.3$ i que plogui cadascun dels dos dies, $0.2$. Calcula la probabilitat que: a) Plogui, com a mínim, un dels dos dies. b) No plogui cap dia. c) Només plogui demà. d) Plogui només un dels dos dies.

Sabem que la probabilitat que demà plogui és $0.4$; que plogui demà passat és $0.3$ i que plogui cadascun dels dos dies, $0.2$. Calcula la probabilitat que: Definim els successos:

• $D$: «plou demà».
• $P$: «plou demà passat».

Per l’enunciat, tenim: $p(D) = 0.4$, $p(P) = 0.3$ i $p(D \cap P) = 0.2$.

a) Plogui, com a mínim, un dels dos dies.

Això correspon a $p(D \cup P)$. Per la fórmula de la unió de probabilitats:

$$p(D \cup P) = p(D) + p(P) – p(D \cap P) = 0.4 + 0.3 – 0.2 = 0.5$$.

Per tant, $p(D \cup P) = 0.5$.

b) No plogui cap dia.

Això és el complement de l’apartat a), és a dir, $p((D \cup P)’) = p(D’ \cap P’)$.

$p(D’ \cap P’) = 1 – p(D \cup P) = 1 – 0.5 = 0.5$.

Per tant, $p(D’ \cap P’) = 0.5$.

c) Només plogui demà.

Això correspon a $p(D \cap P’)$, que és ploure demà però no demà passat.

$p(D \cap P’) = p(D) – p(D \cap P) = 0.4 – 0.2 = 0.2$.

Per tant, $p(D \cap P’) = 0.2$.

d) Plogui només un dels dos dies.

Això és la probabilitat que plogui exactament un dia, és a dir, $p(D \cap P’) + p(D’ \cap P)$.

Ja tenim $p(D \cap P’) = 0.2$ de l’apartat c). Ara calculem $p(D’ \cap P)$: \\ $p(D’ \cap P) = p(P) – p(D \cap P) = 0.3 – 0.2 = 0.1$.

Llavors, $p(\text{només un dia}) = p(D \cap P’) + p(D’ \cap P) = 0.2 + 0.1 = 0.3$.

Per tant, $p(\text{només un dia}) = 0.3$.