Problema probabilitat. Càlcul de probabilitats

El $60\%$ dels alumnes de batxillerat d’un institut practica algun esport, mentre que el $25\%$ cursa estudis musicals i el $10\%$ fa ambdues activitats. Si s’escull a l’atzar un alumne o una alumna de batxillerat d’aquest institut, calcula la probabilitat que: a) Faci esport i no estudiï música. b) Realitzi, com a mínim, una de les dues activitats. c) No faci cap de les dues activitats.

Definim els successos:

• $D$: «que l’alumne escollit faci esport».
• $M$: «que l’alumne escollit estudiï música».

Per l’enunciat del problema sabem que $p(D) = 0{,}6$; $p(M) = 0{,}25$ i $p(D \cap M) = 0{,}1$.

a) Ens demanen $p(D \cap M’)$.

En la figura veiem que $D \cap M’ = D – (D \cap M)$, d’on obtenim:
$$p(D \cap M’) = p(D) – p(D \cap M) = 0{,}6 – 0{,}1 = 0{,}5$$

b) Hem de calcular $p(D \cup M)$.

Per la propietat de la probabilitat tenim:

$$p(D \cup M) = p(D) + p(M) – p(D \cap M) = 0{,}6 + 0{,}25 – 0{,}1 = 0{,}75$$

c) Aplicant una de les lleis de Morgan i la propietat de la probabilitat, resulta:

$$p((D \cup M)’) = p(D’ \cap M’) = 1 – p(D \cup M) = 1 – 0{,}75 = 0{,}25$$