Probabilitat de successos d’un experiment aleatori

En una cursa competeixen quatre corredors $a$, $b$, $c$ i $d$. La probabilitat que guanyi el corredor $a$ és el doble que la probabilitat que guanyi el corredor $b$, la probabilitat que guanyi $c$ és el triple que la probabilitat que guanyi $b$ i la probabilitat que guanyi $d$ és igual que la probabilitat que guanyi $a$. Quina és la probabilitat que té de guanyar cada un d’ells? Quina és la probabilitat que guanyi $a$ o $c$? I que no guanyi $b$?

Tenim quatre corredors $a$, $b$, $c$ i $d$, i les probabilitats de guanyar estan relacionades entre si. Com que es tracta d’una cursa amb un sol guanyador, la suma de totes les probabilitats ha de ser igual a 1. Definim les probabilitats: sigui $P(b)$ la probabilitat que guanyi el corredor $b$. La probabilitat que guanyi $a$ és el doble que la de $b$, per tant, $P(a) = 2 \cdot P(b)$. La probabilitat que guanyi $c$ és el triple que la de $b$, per tant, $P(c) = 3 \cdot P(b)$. La probabilitat que guanyi $d$ és igual que la de $a$, per tant, $P(d) = P(a) = 2 \cdot P(b)$. Equació de la suma de probabilitats: com que només hi pot haver un guanyador, la suma de totes les probabilitats és 1: \[ P(a) + P(b) + P(c) + P(d) = 1 \] Substituint les expressions: \[ 2 \cdot P(b) + P(b) + 3 \cdot P(b) + 2 \cdot P(b) = 1 \] Sumem els termes: \[ (2 + 1 + 3 + 2) \cdot P(b) = 1 \] \[ 8 \cdot P(b) = 1 \] Per tant: \[ P(b) = \frac{1}{8} \] Calculem les probabilitats de cada corredor: $P(b) = \frac{1}{8}$, $P(a) = 2 \cdot P(b) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, $P(c) = 3 \cdot P(b) = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$, $P(d) = 2 \cdot P(b) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Verifiquem: \[ P(a) + P(b) + P(c) + P(d) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{8}{8} = 1 \] La suma és correcta, així que les probabilitats són coherents. Resposta a la primera pregunta: les probabilitats de guanyar per a cada corredor són: $P(a) = \frac{1}{4}$, $P(b) = \frac{1}{8}$, $P(c) = \frac{3}{8}$, $P(d) = \frac{1}{4}$. Probabilitat que guanyi $a$ o $c$: com que els esdeveniments són mútuament exclusius (només un corredor pot guanyar), la probabilitat que guanyi $a$ o $c$ és la suma de les seves probabilitats: \[ P(a \text{ o } c) = P(a) + P(c) = \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \] Probabilitat que no guanyi $b$: la probabilitat que no guanyi $b$ és igual a 1 menys la probabilitat que guanyi $b$: \[ P(\text{no } b) = 1 – P(b) = 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]

Resposta final: probabilitats de guanyar:

• $P(a) = \displaystyle\frac{1}{4}$
• $P(b) = \displaystyle\frac{1}{8}$
• $P(c) = \displaystyle\frac{3}{8}$, $P(d) = \frac{1}{4}$.
• Probabilitat que guanyi $a$ o $c$: $\displaystyle\frac{5}{8}$.
• Probabilitat que no guanyi $b$: $\displaystyle\frac{7}{8}$.