Probabilitat de la loteria primitiva

Determina la probabilitat d’obtenir a la Loteria primitiva 6 encerts, 5 encerts i el complementari, i 4 encerts, jugant una única combinació de 6 números.

A la Loteria Primitiva, es trien 6 números d’un total de 49. El nombre total de combinacions possibles és:

\begin{equation}
\displaystyle\binom{49}{6} = \displaystyle\frac{49!}{6!(49-6)!} = \displaystyle\frac{49!}{6!43!}
\end{equation}

Calculant,

\begin{equation}
\displaystyle\binom{49}{6} = \displaystyle\frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13.983.816
\end{equation}

Per tant, hi ha 13.983.816 combinacions possibles

a) Probabilitat d’encertar els 6 números

Només hi ha una combinació guanyadora, per tant:

\begin{equation}
P(6 \text{ encerts}) = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\binom{49}{6}} = \displaystyle\frac{1}{13.983.816} \approx 7.151 \times 10^{-8}
\end{equation}

És a dir, $0.00000715\%$.

b) Probabilitat d’encertar 5 números i el complementari

El nombre de maneres d’escollir 5 números correctes entre els 6 és:

\begin{equation}
\displaystyle\binom{6}{5} = 6
\end{equation}

El nombre de maneres d’escollir el complementari és:

\begin{equation}
\displaystyle\binom{1}{1} = 1
\end{equation}

Per tant, la probabilitat és:

\begin{equation}
P(5 \text{ encerts} + C) = \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{6}{5} \times \displaystyle\binom{1}{1}}{\displaystyle\binom{49}{6}} = \displaystyle\frac{6 \times 1}{13.983.816} \approx 4.290 \times 10^{-7}
\end{equation}

És a dir, $0.0000429\%$.

c) Probabilitat d’encertar 4 números

El nombre de maneres d’escollir 4 números correctes entre els 6 és:

\begin{equation}
\displaystyle\binom{6}{4} = \displaystyle\frac{6!}{4!(6-4)!} = \displaystyle\frac{6 \times 5}{2} = 15
\end{equation}

El nombre de maneres d’escollir 2 números incorrectes entre els 43 restants és:

\begin{equation}
\displaystyle\binom{43}{2} = \displaystyle\frac{43!}{2!(43-2)!} = \displaystyle\frac{43 \times 42}{2} = 903
\end{equation}

Així, la probabilitat és:

\begin{equation}
P(4 \text{ encerts}) = \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{6}{4} \times \displaystyle\binom{43}{2}}{\displaystyle\binom{49}{6}}
\end{equation}

\begin{equation}
P(4 \text{ encerts}) = \displaystyle\frac{15 \times 903}{13.983.816} \approx 0.0009686
\end{equation}

És a dir, $0.1851\%$.

Resum de probabilitats

\begin{align}
P(6 \text{ encerts}) &= 0.00000715\% \\
P(5 \text{ encerts} + C) &= 0.0000429\% \\
P(4 \text{ encerts}) &= 0.1851\%
\end{align}