Probabilitat suspendre examen

El 25% dels estudiants d’una facultat ha suspès matemàtiques, el 20% ha suspès història i el 15% ha suspès ambdues assignatures. Si seleccionem un alumne o una alumna a l’atzar, determina la probabilitat que: a) Hagi suspès una de les dues assignatures com a mínim. b) Hagi suspès història, però no matemàtiques. c) Hagi suspès matemàtiques, però no història. d) No hagi suspès cap de les dues assignatures.

Definim els esdeveniments següents:

• $M$ : “L’estudiant ha suspès matemàtiques”
• $H$ : “L’estudiant ha suspès història”

Se’ns donen les probabilitats següents:

$$P(M) = 0.25, \quad P(H) = 0.20, \quad P(M \cap H) = 0.15$$

Utilitzem la fórmula de la unió de dos esdeveniments:

$$P(M \cup H) = P(M) + P(H) – P(M \cap H)$$

a) Probabilitat que hagi suspès com a mínim una de les dues assignatures

$$P(M \cup H) = 0.25 + 0.20 – 0.15 = 0.30$$

b) Probabilitat que hagi suspès història però no matemàtiques

Es tracta de la probabilitat de suspendre història sense haver suspès matemàtiques, és a dir, $P(H \cap M^c)$:

$$P(H \cap M^c) = P(H) – P(M \cap H) = 0.20 – 0.15 = 0.05$$

c) Probabilitat que hagi suspès matemàtiques però no història

Es tracta de la probabilitat de suspendre matemàtiques sense haver suspès història, és a dir, $P(M \cap H^c)$:

$$P(M \cap H^c) = P(M) – P(M \cap H) = 0.25 – 0.15 = 0.10$$

d) Probabilitat que no hagi suspès cap de les dues assignatures

$$P(M^c \cap H^c) = 1 – P(M \cup H) = 1 – 0.30 = 0.70$$

Resum de les probabilitats:

$$\begin{aligned}
P(M \cup H) &= 0.30 \\
P(H \cap M^c) &= 0.05 \\
P(M \cap H^c) &= 0.10 \\
P(M^c \cap H^c) &= 0.70
\end{aligned}$$