Probabilitat baralla de cartes espanyola

D’una baralla de 48 cartes extraiem dues cartes a l’atzar. Troba la probabilitat que a) Siguin un as i un rei. b) Les dues cartes siguin dues copes. c) No hi hagi cap figura.

Suposem que la baralla de 48 cartes té 4 pals (cors, piques, trèvols i copes) amb 12 cartes per pal. Això inclou els asos, els reis i les figures (sota, cavall i rei). Calcularem les probabilitats de cada cas.

Nombre total de maneres d’escollir 2 cartes de 48

El nombre total de combinacions possibles de 2 cartes entre 48 és:

\begin{equation}
\binom{48}{2} = \frac{48!}{2!(48-2)!} = \frac{48 \times 47}{2} = 1128
\end{equation}

a) Probabilitat que les cartes siguin un as i un rei

Hi ha 4 asos i 4 reis a la baralla. Podem escollir:

• Un as de 4 de (\binom{4}{1} = 4) maneres.
• Un rei de 4 de (\binom{4}{1} = 4) maneres.

Nombre total de maneres d’escollir un as i un rei:

\begin{equation}
4 \times 4 = 16
\end{equation}

Probabilitat:

\begin{equation}
P(A \cap R) = \frac{16}{1128} \approx 0.0142 \quad (1.42\%)
\end{equation}

b) Probabilitat que les dues cartes siguin copes

Hi ha 12 cartes de copes a la baralla. Nombre de maneres d’escollir 2 cartes de copes:

\begin{equation}
\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66
\end{equation}

Probabilitat:

\begin{equation}
P(C \cap C) = \frac{66}{1128} \approx 0.0585 \quad (5.85\%)
\end{equation}

c) Probabilitat que no hi hagi cap figura

Les figures (sota, cavall i rei) són 3 per pal, amb un total de:

\begin{equation}
3 \times 4 = 12
\end{equation}

Les cartes que no són figures són:

\begin{equation}
48 – 12 = 36
\end{equation}

Nombre de maneres d’escollir 2 cartes que no siguin figures:

\begin{equation}
\binom{36}{2} = \frac{36 \times 35}{2} = 630
\end{equation}

Probabilitat:

\begin{equation}
P(\text{no figura}) = \frac{630}{1128} \approx 0.5585 \quad (55.85\%)
\end{equation}

Resum de probabilitats

\begin{align}
P(A \cap R) &= 0.0142 \quad (1.42\%) \\
P(C \cap C) &= 0.0585 \quad (5.85\%) \\
P(\text{no figura}) &= 0.5585 \quad (55.85\%)
\end{align}