Problema probabilitat cursa

En una cursa de tres corredors, $a$, $b$ i $c$, el corredor a té el doble de probabilitat que el $b$ de guanyar i aquest, el triple que el $c$. a) Quina és la probabilitat que té cada corredor de guanyar? b) Quina és la probabilitat que guanyi $a$ o $c$? c) Quina és la probabilitat que no guanyi $a$?

Problema de probabilitat en una cursa

Definim les probabilitats de guanyar de cada corredor:

• Sigui $P(C)$ la probabilitat que el corredor $c$ guanyi.
• El corredor $b$ té el triple de probabilitat que $c$:

\begin{equation}P(B) = 3P(C) \end{equation}

• El corredor $a$ té el doble de probabilitat que $b$:\begin{equation}P(A) = 2P(B) = 2(3P(C)) = 6P(C)\end{equation}

Com que un d’ells ha de guanyar, la suma de les probabilitats ha de ser $1$:

\begin{equation}
P(A) + P(B) + P(C) = 1
\end{equation}

Substituïm les expressions en funció de $P(C)$:

\begin{equation}
6P(C) + 3P(C) + P(C) = 1
\end{equation}

\begin{equation}
10P(C) = 1
\end{equation}

\begin{equation}
P(C) = \frac{1}{10}
\end{equation}

\begin{equation}
P(B) = 3P(C) = \frac{3}{10}
\end{equation}

\begin{equation}
P(A) = 6P(C) = \frac{6}{10}
\end{equation}

a) Probabilitat de cada corredor de guanyar

\begin{equation}
P(A) = \frac{6}{10} = 0.6
\end{equation}

\begin{equation}
P(B) = \frac{3}{10} = 0.3
\end{equation}

\begin{equation}
P(C) = \frac{1}{10} = 0.1
\end{equation}

b) Probabilitat que guanyi $a$ o $c$

\begin{equation}
P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = \frac{7}{10} = 0.7
\end{equation}

c) Probabilitat que no guanyi $a$

\begin{equation}
P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – \frac{6}{10} = \frac{4}{10} = 0.4
\end{equation}

Resum de probabilitats

\begin{align}
P(A) &= 0.6 \\
P(B) &= 0.3 \\
P(C) &= 0.1 \\
P(A \cup C) &= 0.7 \\
P(A^c) &= 0.4
\end{align}