Problema matrius i càlcul de matriu inversa

Siguin les matrius $A = \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&-2&1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix}3&4&-1\\ -1&-4&3\\ 0&-4&4\end{pmatrix}$
a) Comproveu que satisfan la igualtat $A^2-\displaystyle\frac{1}{2}A\cdot B=I$ en què $I$ és la matriu identitat d’ordre $3$.
b) Fent servir la igualtat anterior, trobeu la matriu inversa de $A$: $A^{-1}$.

1. Comproveu que $A^2 – \frac{1}{2} A \cdot B = I$.

Les matrius donades són:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\ -1 & -4 & 3 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}$$

Per a comprovar que $A^2 – \frac{1}{2} A \cdot B = I$, calculem directament $A^2$ i $\frac{1}{2} A \cdot B$, ometent els càlculs intermitjos.

Resultat de $A^2$:

$$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Resultat de $\frac{1}{2} A \cdot B$:

$$\frac{1}{2} A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Ara, calculem:

$$A^2 – \frac{1}{2} A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

El resultat és:

$$A^2 – \frac{1}{2} A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$

Per tant, hem comprovat que $A^2 – \frac{1}{2} A \cdot B = I$.

2. Trobar la matriu inversa de $A$.

Ara utilitzem la igualtat $A^2 – \frac{1}{2} A \cdot B = I$ per trobar la matriu inversa de $A$. Reescrivim la igualtat com:

$$A^2 = I + \frac{1}{2} A \cdot B$$

Multipliquem per $A^{-1}$ a l’esquerra:

$$A^{-1} \cdot A^2 = A^{-1} \cdot \left( I + \frac{1}{2} A \cdot B \right)$$

Sabem que $A^{-1} \cdot A = I$, així que obtenim:

$$A = A^{-1} + \frac{1}{2} A^{-1} \cdot A \cdot B$$

Com que $A^{-1} \cdot A = I$, reescrivim com:

$$A = A^{-1} + \frac{1}{2} B$$

Finalment, aïllem $A^{-1}$:

$$A^{-1} = A – \frac{1}{2} B$$

Substituïm les matrius de $A$ i $B$:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} – \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\ -1 & -4 & 3 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}$$

El producte $\frac{1}{2} B$ és:

$$\frac{1}{2} B = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 2 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -2 & \frac{3}{2} \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

Ara restem $A$ i $\frac{1}{2} B$:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 2 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -2 & \frac{3}{2} \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

El resultat de la resta és:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 – \frac{3}{2} & 1 – 2 & 1 – (-\frac{1}{2}) \\ 0 – (-\frac{1}{2}) & -2 – (-2) & 1 – \frac{3}{2} \\ 1 – 0 & -1 – (-2) & 1 – 2 \end{pmatrix}$$

Simplificant els valors:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Aquesta és la matriu inversa de $A$:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$