Problema equacions matricials. Examen selectivitat Juny 2001

Considerem la matriu $$A = \begin{pmatrix}0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ a) Sigui $I$ la matriu identitat $3 \times 3$ i $O$ la matriu nul·la $3 \times 3$. Proveu que $A^3 + I = O$. b) Calculeu $A^{10}$.

Anem a resoldre els dos apartats del problema.

Part 1: Provar que $A^3 + I = O$

Donada la matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix}
0 & 3 & 4 \\
1 & -4 & -5 \\
-1 & 3 & 4
\end{pmatrix}$$

Per demostrar que $A^3 + I = O$, és a dir, que $A^3 = -I$, on $I$ és la matriu identitat $3 \times 3$:

$$I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

Anem a calcular $A^2$ i $A^3$ pas a pas.

Pas 1: Calcular $A^2$

Multipliquem $A$ per si mateixa per obtenir $A^2$:

$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}
0 & 3 & 4 \\
1 & -4 & -5 \\
-1 & 3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 4 \\
1 & -4 & -5 \\
-1 & 3 & 4
\end{pmatrix}$$

Fem la multiplicació de matrius:

$$A^2 = \begin{pmatrix}
0(0) + 3(1) + 4(-1) & 0(3) + 3(-4) + 4(3) & 0(4) + 3(-5) + 4(4) \\
1(0) + (-4)(1) + (-5)(-1) & 1(3) + (-4)(-4) + (-5)(3) & 1(4) + (-4)(-5) + (-5)(4) \\
-1(0) + 3(1) + 4(-1) & -1(3) + 3(-4) + 4(3) & -1(4) + 3(-5) + 4(4)
\end{pmatrix}$$

Calculant cada element:

$$A^2 = \begin{pmatrix}
3 – 4 & -12 + 12 & -15 + 16 \\
-4 + 5 & 3 + 16 – 15 & 4 + 20 – 20 \\
3 – 4 & -3 – 12 + 12 & -4 – 15 + 16
\end{pmatrix}$$

$$A^2 = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
1 & 4 & 4 \\
-1 & -3 & -3
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Calcular $A^3$

Ara multipliquem $A^2$ per $A$:

$$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
1 & 4 & 4 \\
-1 & -3 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 4 \\
1 & -4 & -5 \\
-1 & 3 & 4
\end{pmatrix}$$

Multipliquem les matrius:

$$A^3 = \begin{pmatrix}
(-1)(0) + (0)(1) + (1)(-1) & (-1)(3) + (0)(-4) + (1)(3) & (-1)(4) + (0)(-5) + (1)(4) \\
(1)(0) + (4)(1) + (4)(-1) & (1)(3) + (4)(-4) + (4)(3) & (1)(4) + (4)(-5) + (4)(4) \\
(-1)(0) + (-3)(1) + (-3)(-1) & (-1)(3) + (-3)(-4) + (-3)(3) & (-1)(4) + (-3)(-5) + (-3)(4)
\end{pmatrix}$$

Calculant cada element:

$$A^3 = \begin{pmatrix}
-1 & -3 + 3 & -4 + 4 \\
0 + 4 – 4 & 3 – 16 + 12 & 4 – 20 + 16 \\
-3 + 3 & -3 + 12 – 9 & -4 + 15 – 12
\end{pmatrix}$$

$$A^3 = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}$$

Així que $A^3 = -I$, i per tant, $A^3 + I = O$.

Part 2: Calcular $A^{10}$

Com que $A^3 = -I$, podem utilitzar aquesta relació per calcular $A^{10}$:

$$A^{10} = A^{3 \cdot 3 + 1} = (A^3)^3 \cdot A = (-I)^3 \cdot A = -A$$

Per tant, $A^{10} = -A$, i tenim:

$$A^{10} = \begin{pmatrix}
0 & -3 & -4 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -3 & -4
\end{pmatrix}$$

Respostes finals:

1. $A^3 + I = O$
2. $A^{10} = -A = \begin{pmatrix}
   0 & -3 & -4 \\
   -1 & 4 & 5 \\
   1 & -3 & -4
   \end{pmatrix}$