Problema discussió rang matriu. Juny 2019

Es donen la matriu $A$: $$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & a \\ -2 & a+1 & 2 \\ -3 & a-1 & a\end{pmatrix}$$ que depèn del paràmetre $a$, sent $I$ la matriu identitat d’ordre $3$. Calculeu: a) El rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre $a$. b) El determinant de la matriu $2A^{-1}$ quan $a = 1$.

Problema:

Es donen la matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & a \\
-2 & a+1 & 2 \\
-3 & a-1 & a
\end{pmatrix}$$

que depèn del paràmetre $a$, i $I$ és la matriu identitat d’ordre $3$.

Calculeu:

1. El rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre $a$.
2. El determinant de la matriu $2A^{-1}$ quan $a = 1$.

Solució:

1. El rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre $a$:

Per determinar el rang de la matriu $A$, primer calculem el seu determinant i veiem quan és zero, ja que si el determinant és zero, el rang de la matriu serà menor que $3$.

Determinant de la matriu $A$:

$$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ -2 & a+1 & 2 \\ -3 & a-1 & a \end{vmatrix}$$

Utilitzem la regla de Sarrus per calcular el determinant:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} a+1 & 2 \\ a-1 & a \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -3 & a \end{vmatrix} + a \cdot \begin{vmatrix} -2 & a+1 \\ -3 & a-1 \end{vmatrix}$$

Calculem els determinants $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} a+1 & 2 \\ a-1 & a \end{vmatrix} = (a+1)(a) – (a-1)(2) = a^2 + a – 2a + 2 = a^2 – a + 2$$

$$\begin{vmatrix} -2 & a+1 \\ -3 & a-1 \end{vmatrix} = (-2)(a-1) – (a+1)(-3) = -2a + 2 + 3a + 3 = a + 5$$

Substituïm aquests resultats en la fórmula del determinant:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot (a^2 – a + 2) + a \cdot (a + 5)$$
$$\text{det}(A) = a^2 – a + 2 + a(a + 5)$$
$$\text{det}(A) = a^2 – a + 2 + a^2 + 5a$$
$$\text{det}(A) = 2a^2 + 4a + 2$$

Per trobar els valors de $a$ per als quals $\text{det}(A) = 0$, resolem l’equació:

$$2a^2 + 4a + 2 = 0$$

Dividim per 2:

$$a^2 + 2a + 1 = 0$$

Factoritzem l’equació:

$$(a + 1)^2 = 0$$

Així que $a = -1$ és la solució.

Conclusió sobre el rang de la matriu $A$:

• Quan $a = -1$, $\text{det}(A) = 0$, per tant el rang de $A$ és menor que $3$.
• Quan $a \neq -1$, $\text{det}(A) \neq 0$, així que el rang de $A$ és $3$.

2. El determinant de la matriu $2A^{-1}$ quan $a = 1$:

Primer, calculem el determinant de la matriu $A$ quan $a = 1$. Substituïm $a = 1$ en l’expressió de $\text{det}(A)$:

$$\text{det}(A) = 2a^2 + 4a + 2 = 2(1)^2 + 4(1) + 2 = 2 + 4 + 2 = 8$$

Ara, utilitzem la propietat dels determinants:

$$\text{det}(2A^{-1}) = 2^3 \cdot \text{det}(A^{-1}) = 8 \cdot \frac{1}{\text{det}(A)}$$

Substituïm $\text{det}(A) = 8$:

$$\text{det}(2A^{-1}) = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$$

Respostes finals:

1. Rang de la matriu $A$ en funció de $a$:

• Quan $a = -1$, el rang de la matriu $A$ és menor que $3$.
• Quan $a \neq -1$, el rang de la matriu $A$ és $3$.

1. Determinant de la matriu $2A^{-1}$ quan $a = 1$:

• $\text{det}(2A^{-1}) = 1$.