Discussió sistemes d’equacions. Examen Illes Balears. Matemàtiques II 2019

Discutiu per a quins valors d’$a$ el sistema és compatible: $$\begin{cases}(a + 2)x + (a – 1)y – z = 1 \\ ax – y + z = -1 \\ 11x + ay – z = a\end{cases}$$ i resoleu-ho per a $a=0$

Per analitzar quan el sistema d’equacions següent és compatible, hem d’examinar les condicions per a les quals té solució. El sistema que ens donen és:

$$\begin{cases}
(a + 2)x + (a – 1)y – z = 1 \\
ax – y + z = -1 \\
11x + ay – z = a
\end{cases}$$

a) Discussió per a quins valors de $a$ el sistema és compatible:

Matriu augmentada del sistema:

La matriu augmentada associada al sistema d’equacions és:

$$\left[\begin{array}{ccc|c}
a+2 & a-1 & -1 & 1 \\
a & -1 & 1 & -1 \\
11 & a & -1 & a \\
\end{array}\right]$$

La matriu del sistema és la següent:

$$\left( \begin{array}{ccc|c}
a+2 & a-1 & -1 & 1 \\
a & -1 & 1 & -1 \\
11 & a & -1 & a \\
\end{array} \right)$$

El determinant de la matriu anterior és:

$$\text{Determinant} = -a^2 + 9a – 20.$$

Aquest determinant serà nul per a $a = 4$ i $a = 5$.

Si $a \neq 4, 5$:

En aquest cas, el rang de la matriu del sistema serà 3 i el rang de la matriu ampliada també serà 3, ja que només hi ha tres equacions. Per tant, el sistema serà compatible determinat, és a dir, tindrà una solució única.

Si $a = 4$:

El sistema serà el següent:

$$\begin{cases}
6x + 3y – z = 1 \\
4x – y + z = -1 \\
11x + 4y – z = 4
\end{cases}$$

• El rang de la matriu del sistema serà 2, ja que el determinant de la matriu de coeficients:

$$\left( \begin{array}{cc}
6 & 3 \\
3 & -1
\end{array} \right)$$

és diferent de zero:

$$\text{Determinant} = (6 \times (-1)) – (3 \times 3) = -6 – 9 = -15 \neq 0.$$

• El rang de la matriu ampliada serà 3, ja que el determinant de la matriu ampliada formada per les tres últimes columnes no és nul:

$$\left( \begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
4 & -1 & 4
\end{array} \right)$$

El determinant d’aquesta matriu és:

$$\text{Determinant} = (3 \times (1 \times 4 – (-1) \times -1)) – (-1 \times (-1 \times 4 – 1 \times 4)) + 1 \times (-1 \times -1 – 1 \times 4) = 6 \neq 0.$$

Per tant, el rang de la matriu ampliada serà 3 i el sistema serà incompatible, ja que el rang de la matriu del sistema és 2 i el rang de la matriu ampliada és 3.

Si $a = 5$:

Si $a = 5$, el sistema serà el següent:

$$\begin{cases}
7x + 4y – z = 1 \\
5x – y + z = -1 \\
11x + 5y – z = 5
\end{cases}$$

El rang de la matriu del sistema serà 2, ja que el determinant de la matriu formada pels coeficients de les dues primeres columnes és diferent de zero:

$$\text{Determinant} = \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (7 \times (-1)) – (4 \times 5) = -7 – 20 = -27 \neq 0$$

Per tant, el rang de la matriu del sistema és 2.

El rang de la matriu ampliada serà 3, ja que el determinant de la matriu ampliada, que forma les tres últimes columnes, no és nul:

$$\begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 5 & -1 & 5 \end{vmatrix} = 12 \neq 0.$$

Per tant, el sistema és incompatible, ja que el rang de la matriu del sistema és menor que el rang de la matriu ampliada.

b) En el cas $a = 0$, el sistema serà el següent:

$$\begin{cases}
2x – y – z = 1 \\
-y + z = -1 \\
11x – z = 0
\end{cases}$$

Com que és un sistema compatible determinat i sabem que té solució única, aquesta serà:

$$x = \displaystyle-\frac{1}{10}, \quad y = \displaystyle-\frac{1}{10}, \quad z = \displaystyle-\frac{11}{10}.$$