Punts coplanaris

Demostrau que el punts $P_1(1, 1, 2)$, $P_2(1, 2, 5)$, $P_3(0, 1, 9)$ i $P_4(1, 4, 11)$ són coplanaris i calculau l’equació del pla que els conté.

Per demostrar que els punts $P_1(1, 1, 2)$, $P_2(1, 2, 5)$, $P_3(0, 1, 9)$ i $P_4(1, 4, 11)$ són coplanaris, hem de verificar si els vectors formats per aquests punts són linealment dependents. Si els vectors són linealment dependents, els punts seran coplanaris, és a dir, estaran en el mateix pla.

1. Calcular els vectors entre els punts

Primer, calculem els vectors que uneixen els punts.

• Vectors $\overrightarrow{P_1P_2}$, $\overrightarrow{P_1P_3}$ i $\overrightarrow{P_1P_4}$:

$$\overrightarrow{P_1P_2} = P_2 – P_1 = (1 – 1, 2 – 1, 5 – 2) = (0, 1, 3)$$

$$\overrightarrow{P_1P_3} = P_3 – P_1 = (0 – 1, 1 – 1, 9 – 2) = (-1, 0, 7)$$

$$\overrightarrow{P_1P_4} = P_4 – P_1 = (1 – 1, 4 – 1, 11 – 2) = (0, 3, 9)$$

Aquests són els vectors $\overrightarrow{P_1P_2} = (0, 1, 3)$, $\overrightarrow{P_1P_3} = (-1, 0, 7)$ i $\overrightarrow{P_1P_4} = (0, 3, 9)$.

2. Comprovar la dependència lineal

Els punts seran coplanaris si els vectors són linealment dependents. Per comprovar això, calculem el determinant de la matriu formada pels vectors $\overrightarrow{P_1P_2}$, $\overrightarrow{P_1P_3}$ i $\overrightarrow{P_1P_4}$. Si el determinant és zero, els vectors són linealment dependents, i els punts són coplanaris.

La matriu formada per aquests vectors és:

$$\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 3 \\
3 & 7 & 9
\end{pmatrix}$$

Calcular el determinant:

$$\text{det} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} – (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}$$

$$\text{det} = 0 + \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{vmatrix}$$

$$\text{det} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{vmatrix} = (1 \cdot 9) – (3 \cdot 3) = 9 – 9 = 0$$

Com que el determinant és zero, els vectors són linealment dependents, i per tant els punts $P_1$, $P_2$, $P_3$ i $P_4$ són coplanaris.

3. Calcular l’equació del pla

Per calcular l’equació del pla que conté els punts $P_1(1,1,2)$, $P_2(1,2,5)$, $P_3(0,1,9)$ i $P_4(1,4,11)$, seguirem els següents passos:

Trobar dos vectors que es trobin en el pla

Podem fer servir els vectors que uneixen els punts $P_1$ amb $P_2$, $P_1$ amb $P_3$, i així obtindrem dos vectors del pla:

• Vector $\overrightarrow{P_1P_2} = P_2 – P_1 = (1 – 1, 2 – 1, 5 – 2) = (0, 1, 3)$
• Vector $\overrightarrow{P_1P_3} = P_3 – P_1 = (0 – 1, 1 – 1, 9 – 2) = (-1, 0, 7)$

Calcular el producte vectorial d’aquests dos vectors

El producte vectorial entre els vectors $\overrightarrow{P_1P_2}$ i $\overrightarrow{P_1P_3}$ ens donarà el vector normal al pla.

$$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 1 & 3 \\
-1 & 0 & 7
\end{vmatrix}$$

Calculant el determinant:

$$\overrightarrow{n} = \mathbf{i} \left( \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} \right) – \mathbf{j} \left( \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 7 \end{vmatrix} \right) + \mathbf{k} \left( \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \right)$$

$$\overrightarrow{n} = \mathbf{i} (7 – 0) – \mathbf{j} (0 + 3) + \mathbf{k} (0 + 1)$$

$$\overrightarrow{n} = 7\mathbf{i} – 3\mathbf{j} + \mathbf{k}$$

Així, el vector normal al pla és $\overrightarrow{n} = (7, -3, 1)$.

Trobar l’equació del pla

L’equació general d’un pla es pot expressar com:

$$Ax + By + Cz = D$$

On $(A, B, C)$ són les components del vector normal $\overrightarrow{n}$ i $D$ es determina substituint les coordenades d’un dels punts del pla (per exemple, $P_1(1,1,2)$).

Substituïm $\overrightarrow{n} = (7, -3, 1)$ i les coordenades de $P_1(1,1,2)$ a l’equació:

$$7x – 3y + z = D$$

Substituïm $(x, y, z) = (1, 1, 2)$:

$$7(1) – 3(1) + (2) = D$$

$$7 – 3 + 2 = D$$

$$D = 6$$

Per tant, l’equació del pla és:

$$7x – 3y + z = 6$$

Resposta final:

L’equació del pla que conté els punts $P_1(1,1,2)$, $P_2(1,2,5)$, $P_3(0,1,9)$ i $P_4(1,4,11)$ és:

$$7x – 3y + z = 6$$