Problema electromagnetisme. Examen titular +25 física 2024

L’espectròmetre de masses és l’aparell que permet determinar la relació càrrega-massa d’un ió o partícula carregada. Aquest aparell permet distingir diferents isòtops d’un mateix element i consta de dues zones: a la zona 1 hi ha un camp elèctric en la direcció i sentit $j$ i un camp magnètic perpendicular (en direcció i sentit $k$) que fa que només els ions que entren amb una determinada velocitat puguin sortir de la zona 1 seguint una línia recta i sense acceleració. A la zona 2, molt àmplia en la direcció $i$ i $j$, hi ha un camp magnètic (en direcció i sentit $k$) perpendicular a la velocitat d’entrada dels ions. Suposem que s’utilitzen ions positius $^{18}O^+$ amb una massa de $2,7 \times 10^{-26} \, \text{kg}$ i una càrrega $+e = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{C}$, i els camps són $E = 4 \times 10^5 \, \text{V/m}$, $B_1 = 2 \, \text{T}$ i $B_2 = 5 \, \text{T}$.

a) Expliqueu per què un ió que entra amb una determinada velocitat a la zona 1 surt de la zona 1 i entra a la zona 2 amb aquesta mateixa velocitat. Quina és aquesta velocitat?

Un ió que entra a la zona 1 surt de la zona 1 i entra a la zona 2 amb la mateixa velocitat perquè la força magnètica que actua sobre l’iò a la zona 1 només provoca una desviació de la trajectòria sense modificar la velocitat. El camp magnètic a la zona 1 és perpendicular al moviment del ió, per la qual cosa no provoca una acceleració, només un canvi en la direcció de la velocitat, mantenint constant la seva magnitud. La velocitat es manté constant perquè la força magnètica no fa treball sobre el ió.

La velocitat es pot calcular a partir de la relació entre el camp elèctric i el camp magnètic:

$$v = \displaystyle\frac{E}{B_1}$$

Substituïm els valors:

$$v = \displaystyle\frac{(4 \times 10^5 \, \text{V/m})}{(2 \, \text{T})} = 2 \times 10^5 \, \text{m/s}$$

Aquesta és la velocitat amb què l’iò entra a la zona 1 i continua en la zona 2.

b) Quina trajectòria experimentaran els ions d’oxigen a la zona 2? Feu un esquema i raoneu-ho.

A la zona 2, els ions experimentaran una força magnètica que provocarà una trajectòria circular. El camp magnètic a la zona 2 és perpendicular a la velocitat dels ions, així que els ions seguiran una trajectòria circular. Aquesta trajectòria circular és deguda a la força centrípeta que exerceix el camp magnètic sobre els ions. La fórmula per al radi de curvatura de la trajectòria és:

$$r = \displaystyle\frac{mv}{qB_2}$$

On (m) és la massa del ió, (v) és la velocitat, (q) és la càrrega de l’iò i (B_2) és la intensitat del camp magnètic. Els ions seguiran una trajectòria circular amb aquest radi (r), que dependrà de la velocitat, la càrrega, la massa i la intensitat del camp magnètic.

c) Trobeu el punt de la paret de la zona 2 on impactaran els ions en relació amb el seu punt d’entrada.

Per calcular el punt d’impacte a la zona 2, hem de determinar el radi de la trajectòria circular de l’iò a la zona 2. Utilitzem la fórmula per al radi de curvatura:

$$r = \displaystyle\frac{mv}{qB_2}$$

Substituïm els valors:

$$r = \displaystyle\frac{(2,7 \times 10^{-26} \, \text{kg}) \times (2 \times 10^5 \, \text{m/s})}{(1,6 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (5 \, \text{T})}$$

$$r = \displaystyle\frac{5,4 \times 10^{-21}}{8 \times 10^{-19}} = 0,675 \, \text{m}$$

Per tant, els ions impactaran a una distància de $0,675$ m del punt d’entrada.

d) Com es pot utilitzar el punt d’impacte determinat en l’apartat anterior per a trobar la massa de l’ió?

Per trobar la massa de l’iò a partir del punt d’impacte, utilitzem la relació entre el radi de la trajectòria circular i la massa de l’iò. Sabent que la trajectòria és circular, podem utilitzar la fórmula del radi de curvatura:

$$r = \displaystyle\frac{mv}{qB_2}$$

Reorganitzant per trobar la massa (m):

$$m = \displaystyle\frac{r q B_2}{v}$$

Substituïm els valors coneguts:

$$m = \displaystyle\frac{(0,675 \, \text{m}) \times (1,6 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (5 \, \text{T})}{(2 \times 10^5 \, \text{m/s})}$$

$$m = \displaystyle\frac{5,4 \times 10^{-19}}{2 \times 10^5} = 2,7 \times 10^{-26} \, \text{kg}$$

Aquesta és la massa de l’iò $^{18}O^+$.