Exemple 4.3. Àlgebra lineal. Aplicacions lineals

Decideu en cada cas si la funció donada és una aplicació lineal de ℝ² en ℝ².

1. $f(x_1, x_2) = (-x_2, 3x_1 + 2x_2)$
2. $g(x_1, x_2) = (x_1^2, x_1 + x_2)$

Nota: Per comprovar si una funció és una aplicació lineal, hem de verificar si compleix les propietats d’additivitat i d’homogeneïtat. En altres paraules, una aplicació $f$ és lineal si, per a qualsevols $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ i per a qualsevol escalar $\alpha \in \mathbb{R}$, es compleixen les condicions següents:

• $f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$
• $f(\alpha \mathbf{u}) = \alpha f(\mathbf{u})$

Comproveu aquestes propietats per cadascuna de les funcions per decidir si són lineals o no.

Siguin $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$, $\mathbf{v} = (v_1, v_2) \in \mathbb{R}^2$ i $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

1) En aquest cas tenim que:
$$f(\alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}) = f(\alpha(u_1, u_2) + \beta(v_1, v_2))$$
$$= f(\alpha u_1 + \beta v_1, \alpha u_2 + \beta v_2)$$
$$= \left(-(\alpha u_2 + \beta v_2), 3(\alpha u_1 + \beta v_1) + 2(\alpha u_2 + \beta v_2)\right)$$
$$= \alpha \left(-u_2, 3u_1 + 2u_2\right) + \beta \left(-v_2, 3v_1 + 2v_2\right)$$
$$= \alpha f(\mathbf{u}) + \beta f(\mathbf{v}).$$

Aplicant la Definició 4.1¹, concloem que $f$ és una aplicació lineal.

2) La funció $g$ no respecta el producte per escalars. Vegem-ho:

$$g(\alpha \mathbf{u}) = g(\alpha u_1, \alpha u_2)$$
$$= \left((\alpha u_1)^2, \alpha u_1 + \alpha u_2\right)$$
$$= \left(\alpha^2 u_1^2, \alpha (u_1 + u_2)\right).$$

En canvi:
$$\alpha g(\mathbf{u}) = \alpha \left(u_1^2, u_1 + u_2\right)$$
$$= \left(\alpha u_1^2, \alpha (u_1 + u_2)\right).$$

Si comparem ambdós vectors, veiem que les primeres coordenades no coincideixen, ja que no es compleix la igualtat, per exemple, per $\alpha = 2$ i $u_1 = 1$. Per tant:
$$g(\alpha \mathbf{u}) \neq \alpha g(\mathbf{u}),$$
i així $g$ no és una aplicació lineal.

Una forma alternativa de demostrar que una funció no és lineal consisteix a trobar vectors concrets per als quals no es compleix alguna de les dues propietats de la definició d’aplicació lineal. En el cas de la funció $g$, tenim, per exemple, que:
$$g(2 \cdot (1, 1)) = g(2, 2) = (4, 4)$$
mentre que
$$2g(1, 1) = 2 \cdot (1, 2) = (2, 4).$$

Per tant, no es compleix $g(\alpha \mathbf{u}) = \alpha g(\mathbf{u})$ per a $\mathbf{u} = (1, 1)$ i $\alpha = 2$, i concloem que $g$ no és lineal.