Discussió sistemes d’equació. Examen prova 2025

Es considera el següent sistema d’equacions lineals dependent del paràmetre real $a$: $$\begin{cases}x – y + z = -1 \\ ax + (-a + 2)y = 2 \\ 2x – (a + 3)y + (a + 2)z = -5 \end{cases}$$

a) Discuteix el sistema en funció dels valors del paràmetre $a$.

b) Resol el sistema d’equacions per a $a = 1$.

$$|A| = -a^2 + a = 0 \implies a = 0, \; a = 1$$

• Si $a \neq 1, 0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A|B) = 3 \Rightarrow $ Sistema Compatible Determinat.

• Si $a = 0$:

$$(A|B) = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 \\
0 & 2 & 0 & | & 2 \\
2 & -3 & 2 & | & -5
\end{pmatrix}$$

Operem $f_3 – 2 f_1$ per obtenir:

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 \\
0 & 2 & 0 & | & 2 \\
0 & -1 & 0 & | & -3
\end{pmatrix}$$

Operem $f_3 + \frac{1}{2} f_2$ per obtenir:

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 \\
0 & 2 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & 0 & | & -2
\end{pmatrix}$$

Aleshores, $\operatorname{rg}(A) = 2 \neq \operatorname{rg}(A|B) = 3 \Rightarrow$ Sistema Incompatible.

• Si $a = 1$:

$$(A|B) = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 \\
1 & 1 & 0 & | & 2 \\
2 & -4 & 3 & | & -5
\end{pmatrix}$$

Operem $f_2 – f_1$ per obtenir:

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 \\
0 & 2 & -1 & | & 3 \\
2 & -4 & 3 & | & -5
\end{pmatrix}$$

Operem $f_3 – 2 f_1$ per obtenir:

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -1 \\
0 & 2 & -1 & | & 3 \\
0 & -2 & 1 & | & -3
\end{pmatrix}$$

Aleshores, $\operatorname{rg}(A) = 2 = \operatorname{rg}(A|B) = 2 \Rightarrow$ Sistema Compatible Indeterminat.

$(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & -1 \\ 1 & 1 & 0 & | & 2 \\ 2 & -4 & 3 & | & -5 \end{pmatrix}$

Operem $f_2 – f_1$ per obtenir:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & -1 \\ 0 & 2 & -1 & | & 3 \\ 2 & -4 & 3 & | & -5 \end{pmatrix}$$

Operem $f_3 – 2f_1$ per obtenir:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & -1 \\ 0 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -2 & 1 & | & -3 \end{pmatrix}$$

Aleshores, tenim les expressions següents per a les incògnites:

$$z = 2y – 3, \quad x = 2 – y$$

Per tant, la solució és:

$$y = \lambda, \quad x = 2 – \lambda, \quad z = 2\lambda – 3$$