Problema sistemes d’equacions. Garrafes per omplir un aljub

Es tenen garrafes de tres mides diferents per omplir un aljub¹. Amb sis garrafes petites i 2 litres es poden omplir exactament una garrafa mitjana i una gran. Amb dues garrafes grans omplim dues mitjanes, una petita i sobra 1 litre. L’aljub es pot omplir completament bé amb catorze garrafes petites més sis de mitjanes, bé amb cinc de mitjanes juntament amb cinc de grans. Es demana calcular la capacitat de cada tipus de garrafa i, un cop conegudes aquestes, la capacitat de l’aljub.

Si $x$ és la capacitat (en litres) de cada garrafa gran, $y$ la de les garrafes mitjanes, i $z$ la de les petites, les equacions que es plantegen són:

$$6z + 2 = x + y, \quad 2x = 2y + z + 1 \quad \text{i} \quad 14z + 6y = 5y + 5x,$$

de manera que $x$, $y$, $z$ són les solucions al sistema:

$$\begin{cases}
x + y – 6z = 2 \\
2x – 2y – z = 1 \\
5x – y – 14z = 0
\end{cases}$$

Utilitzarem el mètode de Cramer per resoldre el sistema d’equacions.

El sistema d’equacions que tenim és el següent:

$$\begin{cases}
x + y – 6z = 2 \\
2x – 2y – z = 1 \\
5x – y – 14z = 0
\end{cases}$$

Podem escriure aquest sistema en forma de matriu de coeficients i matriu augmentada:

Matriu de coeficients $A$:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -6 \\
2 & -2 & -1 \\
5 & -1 & -14
\end{pmatrix}$$

Matriu augmentada $(A|b)$ (on $b$ és el vector de termes independents):

$$A|b = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -6 & | & 2 \\
2 & -2 & -1 & | & 1 \\
5 & -1 & -14 & | & 0
\end{pmatrix}$$

Pas 1: Determinants de les matrius

Per aplicar el mètode de Cramer, hem de calcular els determinants de les matrius:

1. Determinant de la matriu $A$, que es denota com $\text{det}(A)$:

$$\text{det}(A) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -6 \\
2 & -2 & -1 \\
5 & -1 & -14
\end{vmatrix} = 1 \cdot 27 – 1 \cdot (-23) + (-6) \cdot 8 = 27 + 23 – 48 = 2$$

Pas 2: Matrius substituïdes

Ara, calculem els determinants de les matrius obtingudes substituint les columnes de $A$ per la columna dels termes independents $b = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Matriu $A_x$ (substituïm la primera columna de $A$ per $b$):

$$A_x = \begin{pmatrix}
2 & 1 & -6 \\
1 & -2 & -1 \\
0 & -1 & -14
\end{pmatrix}$$

Determinant de $A_x$:

$$\text{det}(A_x) = 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -1 \ -1 & -14 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 0 & -14 \end{vmatrix} + (-6) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 27 – 1 \cdot (-14) + (-6) \cdot (-1) = 54 + 14 + 6 = 74$$

Matriu $A_y$ (substituïm la segona columna de $A$ per $b$):

$$A_y = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -6 \\
2 & 1 & -1 \\
5 & 0 & -14
\end{pmatrix}$$

Determinant de $A_y$:

$$\text{det}(A_y) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 0 & -14 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \ 5 & -14 \end{vmatrix} + (-6) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 5 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-14) – 2 \cdot (-23) + (-6) \cdot (-5) = -14 + 46 + 30 = 62$$

Matriu $A_z$ (substituïm la tercera columna de $A$ per $b$):

$$A_z = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
2 & -2 & 1 \\
5 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$

Determinant de $A_z$:

$$\text{det}(A_z) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \ -1 & 0 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 5 & 0 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 8 = 1 + 5 + 16 = 22$$

Pas 3: Aplicar la regla de Cramer

Ara, podem trobar les solucions per a

$x$, $y$, i $z$ utilitzant la regla de Cramer:

$$x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{74}{2} = 37$$

$$y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{62}{2} = 31$$

$$z = \frac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} = \frac{22}{2} = 11$$

Solució

Per tant, les capacitats de les garrafes són:

• $x = 37$ L (garrafa gran),
• $y = 31$ L (garrafa mitjana),
• $z = 11$ L (garrafa petita).

Finalment, la capacitat de l’aljub es calcula com:

$$14z + 6y = 14 \cdot 11 + 6 \cdot 31 = 154 + 186 = 340 \, \text{L}.$$

1. Un aljub és una construcció utilitzada per emmagatzemar aigua, generalment de pluja, per a ús domèstic o agrícola. Es tracta d’un dipòsit o recipient gran, normalment subterrani o semisubterrani, dissenyat per conservar l’aigua durant períodes secs. Els aljubs són comuns en zones amb poca pluja o on l’accés a l’aigua potable és limitat. La paraula prové de l’àrab “al-ŷubb”, que significa “cisterna” o “dipòsit d’aigua”. ↩︎