Problema electromagnetisme. Model 2024-2025

Un fil rectilini infinit situat paral·lel a l’eix $x$, que passa pel punt $(0, 0, 2) \, \text{cm}$, transporta un corrent $I_1 = 5 \, \text{A}$ en el sentit positiu de l’eix $x$. Un segon fil, paral·lel al primer, que passa pel punt $(0, 2, 0) \, \text{cm}$, transporta un corrent $I_2 = 3 \, \text{A}$ en el sentit negatiu de l’eix $x$. a) Obtingueu el camp magnètic creat per ambdós fils a l’origen de coordenades. b) Calculeu el mòdul de la força per unitat de longitud que exerceix el primer fil sobre el segon.

Dada: Permeabilitat magnètica del buit, $\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} \, \text{T} \, \text{m} \, \text{A}^{-1}$.

l valor del camp magnètic creat per un fil rectilini infinit en un punt ve donat per l’expressió:

$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I}{r} \, \vec{u}$$

on la direcció del vector unitari ve donada aplicant la regla de la mà dreta. Segons el principi de superposició:

$$\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} \, \vec{u}_1 + \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} \, \vec{u}_2$$

Segons la figura:

$$\vec{B} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 5}{2 \pi \cdot 2 \cdot 10^{-2}} \, \vec{j} + \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 3}{2 \pi \cdot 2 \cdot 10^{-2}} \, \vec{k}$$

$$= 5 \cdot 10^{-5} \, \vec{j} + 3 \cdot 10^{-5} \, \vec{k} \, \text{T}$$

Per tant:

$$\vec{B} = 5 \cdot 10^{-5} \, \vec{j} + 3 \cdot 10^{-5} \, \vec{k} \, \text{T}$$

Per calcular el mòdul de la força per unitat de longitud que exerceix el fil d’intensitat $I_1$ sobre el fil d’intensitat $I_2$, tenim en compte que ambdós fils són paral·lels, de manera que l’expressió per al mòdul de la força és:

$$\frac{\vec{F}_{12}}{L} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{|I_1| |I_2|}{d}$$

On $d$ és la distància entre ambdós fils. Per tant:

$$\frac{\vec{F}_{12}}{L} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7}}{2 \pi} \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{2^2 + 2^2} \cdot 10^{-2}}$$

$$= 1,06 \cdot 10^{-4} \, \text{N} \, \text{m}^{-1}$$

Per tant:

$$\frac{\vec{F}_{12}}{L} = 1,06 \cdot 10^{-4} \, \text{N} \, \text{m}^{-1}$$

Nota: la força és repulsiva, ja que els sentits de les corrents són oposats.