Problema distribució binomial i la seva aproximació

Una empresa realitza una enquesta a 100 persones per conèixer quants d’ells prefereixen productes ecològics. Segons un estudi previ, el 30% de la població prefereix aquests productes. Suposem que les preferències de les persones escollides són independents entre si.

Quina és la probabilitat que, en una mostra de 100 persones, entre 25 i 35 (ambdós inclosos) prefereixin productes ecològics?

1. Definim les variables:

La distribució binomial es dóna per la fórmula:

$$P(X = k) = \displaystyle\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

On:

• $n$ és el nombre de proves (en aquest cas, 100 persones).
• $k$ és el nombre d’èxits (en aquest cas, les persones que prefereixen productes ecològics).
• $p$ és la probabilitat d’èxit (en aquest cas, la probabilitat que una persona prefereixi productes ecològics, que és del 30% o 0.30.3).
• $1 – p$ és la probabilitat d’error (en aquest cas, que una persona no prefereixi productes ecològics, és a dir, $0.7$).

2. Paràmetres de la distribució binomial:

• $n = 100$
• $p = 0.30$

L’objectiu és trobar la probabilitat de que entre $25$ i $35$ persones prefereixin productes ecològics, és a dir, $P(25 \leq X \leq 35)$.

3. Calcularem la probabilitat:

L’estratègia és utilitzar la distribució binomial per calcular les probabilitats per a cada valor de $k$ entre $25$ i $35$, i després sumar-les.

$$P(X = 25) + P(X = 26) + \dots + P(X = 35)$$

Per cada valor de $k$, utilitzarem la fórmula de la distribució binomial.

4. Aproximació normal (opcional):

Per facilitar els càlculs, podem aproximar la distribució binomial a una distribució normal, utilitzant el teorema del límit central. La distribució binomial es pot aproximar per una distribució normal quan nn és gran, amb mitjana $mu$ i desviació estàndard $\sigma$:

• La mitjana $\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.30 = 30$
• La desviació estàndard $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0.30 \cdot 0.70} \approx 4.58$

Aquesta aproximació normal ens permet utilitzar taules de distribució normal per calcular la probabilitat.

5. Aplicar l’aproximació normal:

Per usar la distribució normal, hem de convertir els valors de $k = 25$ i $k = 35$ a les respectives puntuacions $z$:

• Per $k = 25$: $z = \frac{25 – 30}{4.58} \approx -1.09$
• Per $k = 35$: $z = \frac{35 – 30}{4.58} \approx 1.09$

Ara, busquem les probabilitats corresponents a aquests valors de $z$ en la taula de la distribució normal estàndard.

• $P(z \leq -1.09) \approx 0.1379$
• $P(z \leq 1.09) \approx 0.8621$

La probabilitat que el nombre de persones que prefereixen productes ecològics estigui entre $25$ i $35$ és la diferència entre aquestes dues probabilitats: $P(25 \leq X \leq 35) \approx 0.8621 – 0.1379 = 0.7242$

6. Resposta:

La probabilitat que entre $25$ i $35$ persones prefereixin productes ecològics en una mostra de $100$ és aproximadament $0.7242$, o un $72.42\%$.