Problema 8 examen selectivitat Illes Balears juliol 2024. Distribució normal. Mongetes

El pes, en grams, de les mongetes en llauna es distribueix normalment amb mitjana $\mu$ i desviació típica $7.8$. Atès que el $10\%$ d’aquestes llaunes contenen menys de $200$ g, calcula: (a) El valor de la mitjana $\mu$ arrodonint-la a les unitats. (b)El percentatge de llaunes que contenen més de $225$ g de mongetes. Nota: empra la mitjana arrodonida a les unitats. (c) El percentatge de llaunes que contenen entre $190$ g i $225$ g de mongetes. Nota: empra la mitjana arrodonida a les unitats.

El pes segueix una distribució normal $N(\mu, 7.8)$. Sigui $X$ el pes, en grams, que conté una llauna de mongetes, sabem que $P(X < 200) = 0.10$. Aleshores, tipificant tenim que

$$P\left(Z < \frac{200 – \mu}{7.8} \right) = 0.10$$

Notem que $\mu > 200$, llavors $\frac{200 – \mu}{7.8} < 0$. Ara bé,

\[P\left(Z < \frac{200 – \mu}{7.8} \right) = 1 – P\left(Z < -\frac{200 – \mu}{7.8} \right) = 0.10 \Rightarrow P\left(Z < -\frac{200 – \mu}{7.8} \right) = 0.9\]

Mirant a la taula tenim que $1.28$ correspon a $0.8997$ i $1.29$ correspon a $0.9015$. Interpolant tenim que $1.2816$ és el valor que correspon a una probabilitat de $0.9$. Els alumnes poden emprar tant el valor interpolat com $1.285$. Aleshores,

Emprant el punt mitjà:

\[-\frac{200 – \mu}{7.8} = 1.285 \Rightarrow \mu = 210.023\]

Emprant el punt interpolat:

\[-\frac{200 – \mu}{7.8} = 1.2817 \Rightarrow \mu = 209.997\]

Aleshores, $\mu = 210$ g.

Finalment calculem $$P(X > 225) = P\left(Z > \frac{225 – 210}{7.8} \right) = P(Z > 1.9231) = 1 – P(Z < 1.92) = 1 – 0.9726 = 0.0274$$

També,
$$P(190 < X < 225) = P\left(\frac{190 – 210}{7.8} < Z < \frac{225 – 210}{7.8} \right) = P(-2.56 < Z < 1.92)$$
$$= P(Z < 1.92) – P(Z < -2.56) = P(Z < 1.92) – 1 + P(Z < 2.56) = 0.9726 – 1 + 0.9948 = 0.9674$$