Problema sobre l’òrbita de Mercuri. Moment angular

L’òrbita de Mercuri al voltant del Sol és el·líptica i presenta la major excentricitat entre els planetes del sistema solar. Això fa que la seva distància al Sol variï considerablement, afectant la seva velocitat orbital. A l’afeli, el planeta Mercuri és a $6.99 \times 10^{10}$ km del Sol, i al periheli és a $4.60 \times 10^{10}$ km del Sol. La seva velocitat orbital és de $3.88 \times 10^{4}$ m/s a l’afeli. Dibuixeu aproximadament l’òrbita de Mercuri i indiqueu la posició de l’afeli i el periheli. Utilitzant el principi de conservació del moment angular, calculeu quin és el mòdul de la velocitat de Mercuri al periheli. Argumenteu si el mòdul de la velocitat varia quan Mercuri es desplaça al llarg de la seva òrbita, i justifiqueu en quin punt de l’òrbita pren el seu valor mínim.

El moment angular de Mercuri respecte el centre del Sol s’expressa com:
\begin{equation}
\vec{L}_{\text{Mercuri, Sol}} = m \vec{r} \times \vec{v},
\end{equation}
on $\vec{r}$ és el vector de posició que apunta del centre del Sol a Mercuri, $m$ és la massa de Mercuri i $\vec{v}$ és la seva velocitat.

El mòdul del moment angular de Mercuri respecte el Sol, s’expressa com:
\begin{equation}
L_{\text{Mercuri, Sol}} = m r v \sin\theta,
\end{equation}
on $\theta$ és l’angle que formen $\vec{r}$ i $\vec{v}$. Com al periheli i a l’afeli $\vec{r}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars, $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin\theta = 1$.

Per tant, si imposem la conservació del moment angular entre el periheli i l’afeli tenim:
\begin{equation}
m r_a v_a = m r_p v_p.
\end{equation}

I si aïllem el mòdul de la velocitat de Mercuri al periheli obtenim:
\begin{equation}
r_a = 6.99 \times 10^{10} \text{ m}, \quad v_p = \frac{r_a v_a}{r_p} = \frac{(6.99 \times 10^{10}) (3.88 \times 10^{4})}{4.60 \times 10^{10}},
\end{equation}
\begin{equation}
v_p = 5.90 \times 10^{4} \text{ m/s}.
\end{equation}

Com el moment angular és constant:
\begin{equation}
L_{\text{Mercuri, Sol}} = m r v \sin\theta = \text{constant},
\end{equation}
i tant la velocitat com l’angle varien, llavors el mòdul de la velocitat no és constant. Com el moment angular i la massa són constants:
\begin{equation}
v \propto \frac{1}{r \sin\theta}.
\end{equation}

La velocitat serà mínima en el punt on el producte $r \sin\theta$ sigui màxim, i aquest punt és l’afeli atès que és el punt de l’òrbita on Mercuri s’allunya més del Sol i el sinus de l’angle pren el seu valor màxim, $\sin\theta = 1$.