Problema 2 examen matemàtiques II del 12 de juny de 2020

Determina la posició dels següents plans en funció del paràmetre $a$: $$\pi_1: x+y+az=1 \qquad \pi_2: 2x+ay=1 \qquad \pi_3: ax+y+z=1 \qquad$$

Hem de recordar:

Si l’equació general de $3$ plans, obtenim un sistema $3\times 3$. Per saber-ne la posició relativa només ens caldrà recordar el que vam aprendre sobre el tipus de sistemes estudiant el rang de la matriu de coeficients, $A$ i de la matriu ampliada, $MA$:

• $Rang A=Rang MA=3\rightarrow$ El sistema és compatible determinat i té una única solució, els plans es tallen en un punt.
• $Rang A=Rang MA=2\rightarrow$ El sistema és compatible indeterminat i té infinites solucions, els plans es tallen en una recta.
• $Rang A \neq Rang MA\rightarrow$ El sistema és incompatible i no té solució, els plans no es tallen. Aquí poden passar vàries possibilitats, per exemple que siguin paral·lels, que es tallin dos a dos…

Si escrivim la matriu de coeficients A i la matriu ampliada, MA, tenim que:

$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
2 & a & 0\\
a & 1 & 1
\end{array}
\right)
\qquad
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & a & 1\\
2 & a & 0 & 1\\
a & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right)$$
Calculem ara el determinant de la matriu $A$:

$$|A|=-a^3+3a-2=-(a-1)^2(a+2)$$
Si l’igualem a zero, veiem que s’anul·la pels valors $a=-2$ i$ a=1$. Per tant, podem definir $3$ casos:

1. Si $a \neq -2$ i $a \neq 1$:
   Ens trobem que $Rang A= Rang MA=3$. Per tant el sistema és compatible determinant i els $3$ plans es tallen en un punt.
2. Si $a=-2$:

$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2\\
2 & -2 & 0\\
-2 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\qquad
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -2 & 1\\
2 & -2 & 0 & 1\\
-2 & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right)$$

Si orlem el menor d’ordre $2$ amb el vector columna dels termes independents de la matriu ampliada obtenim que:

$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -2 & 1\\
-2 & 1 & 1
\end{vmatrix}=-9$$

Per tant, en aquest cas, $Rang A=2$, $Rang MA=3$. Com que no coincideixen el sistema és incompatible i els plans no es tallen. Per veure la seva posició relativa, mirem els coeficients dels plans i veiem que no són proporcionals. Aleshores els plans es tallen $2$ a $2$.

3. Si $a=1$: $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Aquí, $Rang A= Rang MA=2$, per tant el sistema és compatible indeterminat i els $3$ plans es tallen en una recta. De fet, ja veiem que el primer i el tercer pla són coincidents.