Problema 3 examen de matemàtiques II 12 juny de 2020

Entre tots els cilindres de volum $4\pi$ trobeu el que suposi menys cost (menys àrea) a l’hora de construir-lo.

Entenem que menys cost a l’hora de construir-lo vol dir que tingui la mínima superfície possible amb el mateix volum, que és $4\pi$. Anem a fer un dibuix esquemàtic:

Les variables del problema en aquest cas són el radi $R$ i l’alçada $H$.

La funció a optimitzar serà la despesa total de material a l’hora de construir-lo i això depèn de l’àrea total del cilindre:

$$A(R,H)=2\pi R^2+2\pi R H$$
La nostra funció depèn de dues variables, però tenim una informació suplementària que ens dóna l’enunciat que fa que en puguem eliminar una. Sabem que el volum total del cilindre és $4\pi$. Per tant:

$$\begin{align}
V&=\pi R^2 H = 4\pi \rightarrow H=\frac{4}{R^2}\\
A(R)&= 2 \pi R^2+ 2 \pi R \cdot \frac{4}{R^2}=2 \pi R^2+\frac{8\pi}{R}
\end{align}$$
I ara tenim que la funció a optimitzar només depèn d’un paràmetre, $R$.

Derivem la funció, igualem la primera derivada a zero i mirem per a quins valors la segona derivada és positiva (es tracta de minimitzar la superfície):

$$\begin{align}
A^\prime(R)&= 4 \pi R-\frac{8\pi}{R^2}=\frac{4\pi R^3-8\pi}{R^2}\\
A^\prime(R)&=0 \rightarrow 4\pi R^3-8\pi=0 \rightarrow … \rightarrow R=\sqrt[3]{2}\\
A^{\prime \prime} (R)&=\frac{12\pi R^2 \cdot R^2-2R(4\pi R^3-8\pi)}{R^4}=…=\frac{4\pi R^3+16 \pi}{R^3}\\
A^{\prime \prime}(\sqrt[3]{2})&>0\rightarrow \mbox{ En } R=\sqrt[3]{2} \mbox{ hi ha un mínim local}
\end{align}$$
Substituïm i trobem el valor de l’alçada del cilindre per aquest radi:

$$H=\frac{4}{R^2}=\frac{4}{\sqrt[3]{2^2}}=…=2\sqrt[3]{2}$$
El cilindre que minimitza l’àrea i que té volum $4\pi$ té dimensions: $$H=2\sqrt[3]{2}\ \mathrm{i}\ R=\sqrt[3]{2}$$