Probabilitat. Assignatures aprovades

En un grup de primer de batxillerat han aprovat Matemàtiques el $70 \%$ dels estudiants; Llengua, el $65 \%$, i totes dues assignatures, el $60 \%$. Es tria un estudiant a l’atzar: a) Quina és la probabilitat que hagi aprovat Matemàtiques o Llengua? b) Quina és la probabilitat que no hagi aprovat cap de les dues assignatures? c) Si se sap que no ha aprovat Matemàtiques, quina probabilitat té d’haver superat Llengua?

Per resoldre aquests problemes de probabilitat, utilitzarem les notacions i les fórmules de probabilitat conjuntes i condicionals.

Dades

• $P(M) = 0.70$ (probabilitat d’haver aprovat Matemàtiques)
• $P(L) = 0.65$ (probabilitat d’haver aprovat Llengua)
• $P(M \cap L) = 0.60$ (probabilitat d’haver aprovat totes dues assignatures)

Part (a)

Probabilitat que hagi aprovat Matemàtiques o Llengua

Utilitzem la fórmula de la probabilitat de la unió de dos esdeveniments:
$$P(M \cup L) = P(M) + P(L) – P(M \cap L)$$

Substituïm les dades:
$$P(M \cup L) = 0.70 + 0.65 – 0.60 = 0.75$$

Per tant, la probabilitat que un estudiant hagi aprovat Matemàtiques o Llengua és $0.75$.

Part (b)

Probabilitat que no hagi aprovat cap de les dues assignatures

Aquesta és la probabilitat que no hagi aprovat ni Matemàtiques ni Llengua, és a dir, la complementària de la probabilitat que hagi aprovat almenys una d’elles:
$$P(\text{ni M ni L}) = 1 – P(M \cup L)$$

Substituïm la probabilitat calculada anteriorment:
$$P(\text{ni M ni L}) = 1 – 0.75 = 0.25$$

Per tant, la probabilitat que un estudiant no hagi aprovat cap de les dues assignatures és $0.25$.

Part (c)

Probabilitat d’haver superat Llengua, sabent que no ha aprovat Matemàtiques

Utilitzem la probabilitat condicional. Necessitem calcular $P(L | \overline{M})$, on $\overline{M}$ representa que no ha aprovat Matemàtiques.

La fórmula de la probabilitat condicional és:
$$P(L | \overline{M}) = \frac{P(L \cap \overline{M})}{P(\overline{M})}$$

Primer calculem $P(\overline{M})$:
$$P(\overline{M}) = 1 – P(M) = 1 – 0.70 = 0.30$$

Després calculem $P(L \cap \overline{M})$. Sabem que:
$$P(L) = P(L \cap M) + P(L \cap \overline{M})$$

Per tant:
$$P(L \cap \overline{M}) = P(L) – P(L \cap M)$$

Substituïm les probabilitats conegudes:
$$P(L \cap \overline{M}) = 0.65 – 0.60 = 0.05$$

Finalment, substituïm a la fórmula de la probabilitat condicional:
$$P(L | \overline{M}) = \frac{0.05}{0.30} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$

Per tant, la probabilitat que un estudiant hagi aprovat Llengua sabent que no ha aprovat Matemàtiques és aproximadament $0.1667$ (o $\frac{1}{6}$).