La probabilitat. Les ruletes europea i americana

Es fan girar una ruleta europea i la bola en direccions oposades. Sabent que quan la bola s’atura té la mateixa probabilitat de caure en qualsevol de les $37$ caselles: a) Quina probabilitat hi ha que caigui en el $0$? I en una casella negra? b) Si la ruleta gira tres cops, quina és la probabilitat que tots tres caigui en una casella negra? I que almenys un cop caigui a la casella negra c) A la ruleta americana hi ha $38$ caselles perquè se n’hi inclou una de nova que conté el nombre $00$.

Una ruleta europea té $37$ caselles, numerades del $0$ al $36$. A cada gir de la ruleta, cada casella té la mateixa probabilitat de ser triada.

Part (a)

1. Probabilitat que caigui en el $0$: La ruleta té una casella numerada amb el $0$, així que la probabilitat que la bola caigui en aquesta casella és:
   $$P(0) = \frac{1}{37}$$
2. Probabilitat que caigui en una casella negra: A la ruleta europea, hi ha $18$ caselles negres (i $18$ de vermelles), a més del $0$ que és verd. La probabilitat que la bola caigui en una casella negra és:
   $$P(\text{negra}) = \frac{18}{37}$$

Part (b)

1. Probabilitat que tots tres cops caigui en una casella negra: La probabilitat que la bola caigui en una casella negra en un sol gir és $\frac{18}{37}$. Com els tres girs són independents, la probabilitat que la bola caigui en una casella negra tres cops consecutius és:
   $$P(\text{tres cops negre}) = \left( \frac{18}{37} \right)^3$$
2. Probabilitat que almenys un cop caigui en una casella negra: Primer calculem la probabilitat que la bola no caigui en una casella negra en cap dels tres girs. La probabilitat de no caure en una casella negra en un sol gir és:
   $$P(\text{no negra}) = 1 – P(\text{negra}) = 1 – \frac{18}{37} = \frac{19}{37}$$
   La probabilitat que la bola no caigui en una casella negra en cap dels tres girs és:
   $$P(\text{cap negre}) = \left( \frac{19}{37} \right)^3$$
   Així, la probabilitat que almenys un cop caigui en una casella negra és:
   $$P(\text{almenys un negre}) = 1 – P(\text{cap negre}) = 1 – \left( \frac{19}{37} \right)^3$$

Part (c)

En una ruleta americana hi ha $38$ caselles perquè s’hi inclou una casella addicional numerada com $00$.

1. Probabilitat que caigui en el $0$: La ruleta americana té una casella numerada amb el $0$, així que la probabilitat que la bola caigui en aquesta casella és:
   $$P(0) = \frac{1}{38}$$
2. Probabilitat que caigui en una casella negra: A la ruleta americana també hi ha $18$ caselles negres (i $18$ de vermelles), a més del $0$ i el $00$ que són verds. La probabilitat que la bola caigui en una casella negra és:
   $$P(\text{negra}) = \frac{18}{38}$$

Resum de probabilitats:

• Ruleta Europea:
  • Probabilitat de caure en el 0: $\frac{1}{37}$
  • Probabilitat de caure en una casella negra: $\frac{18}{37}$
  • Probabilitat de caure tres cops en una casella negra: $\left( \frac{18}{37} \right)^3$
  • Probabilitat de caure almenys un cop en una casella negra: $1 – \left( \frac{19}{37} \right)^3$
• Ruleta Americana:
  • Probabilitat de caure en el $0$: $\frac{1}{38}$
  • Probabilitat de caure en una casella negra: $\frac{18}{38}$