Gat hidràulic

Un gat hidràulic per aixecar cotxes disposa d’un cilindre de 5 cm de diàmetre sobre el qual exercim la força i un cilindre que es posa sota un cotxe amb un diàmetre de 25 cm. Per aplicar la força fem entrar cada vegada 10 litres de líquid. Si volem que el cotxe pugi 1 m, es demana: a) Quantes vegades haurem d’introduir líquid? b) Si el cotxe pesa 1500 Kg quina pressió tindrà el líquid? c) Quin treball haurem fet? d) Quina força suporta la superfície de cada un dels dos cilindres?

Per resoldre aquest problema, analitzarem cada apartat pas a pas utilitzant els principis de la hidràulica.

Dades del problema

• Diàmetre del cilindre petit $d_1 = 5$ cm
• Diàmetre del cilindre gran $d_2 = 25$ cm
• Volum de líquid introduït cada vegada $V = 10$ litres $= 10 \times 10^{-3}$ m³ (convertit a m³)
• Desplaçament del cotxe $h = 1$ m
• Pes del cotxe $P = 1500$ kg

Càlculs preliminars

Àrea de cada cilindre

1. Àrea del cilindre petit $A_1$:
   $$A_1 = \pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{5 \, \text{cm}}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0.05 \, \text{m}}{2}\right)^2 = \pi \times (0.025 \, \text{m})^2$$
2. Àrea del cilindre gran $A_2$:
   $$A_2 = \pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{25 \, \text{cm}}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0.25 \, \text{m}}{2}\right)^2 = \pi \times (0.125 \, \text{m})^2$$

Apartat a) Quantes vegades haurem d’introduir líquid?

El volum total de líquid necessari per aixecar el cotxe $1$ metre és:
$$V_{\text{total}} = A_2 \times h$$

El nombre de vegades que cal introduir líquid és:
$$n = \frac{V_{\text{total}}}{V}$$

Apartat b) Si el cotxe pesa $1500$ Kg quina pressió tindrà el líquid?

La força necessària per aixecar el cotxe és el seu pes:
$$F_2 = P \times g = 1500 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2$$

La pressió en el líquid és:
$$p = \frac{F_2}{A_2}$$

Apartat c) Quin treball haurem fet?

El treball és igual a la força aplicada pel desplaçament:
$$W = F_2 \times h$$

Apartat d) Quina força suporta la superfície de cada un dels dos cilindres?

1. Força al cilindre gran:
   $$F_2 = P \times g$$
2. Força al cilindre petit:
   $$F_1 = p \times A_1$$

Càlculs finals

Anem a calcular tots els valors:

1. Àrea del cilindre petit:
   $$A_1 = \pi \times (0.025 \, \text{m})^2 \approx 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$$
2. Àrea del cilindre gran:
   $$A_2 = \pi \times (0.125 \, \text{m})^2 \approx 4.909 \times 10^{-2} \, \text{m}^2$$
3. Volum total de líquid necessari:
   $$V_{\text{total}} = A_2 \times h = 4.909 \times 10^{-2} \, \text{m}^2 \times 1 \, \text{m} \approx 4.909 \times 10^{-2} \, \text{m}^3$$
4. Nombre de vegades que cal introduir líquid:
   $$n = \frac{4.909 \times 10^{-2} \, \text{m}^3}{10 \times 10^{-3} \, \text{m}^3} \approx 4.909 \approx 5 \, \text{vegades}$$
5. Força necessària per aixecar el cotxe:
   $$F_2 = 1500 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \approx 14715 \, \text{N}$$
6. Pressió en el líquid:
   $$p = \frac{F_2}{A_2} = \frac{14715 \, \text{N}}{4.909 \times 10^{-2} \, \text{m}^2} \approx 299740 \, \text{Pa}$$
7. Treball fet:
   $$W = F_2 \times h = 14715 \, \text{N} \times 1 \, \text{m} = 14715 \, \text{J}$$
8. Força al cilindre petit:
   $$F_1 = p \times A_1 = 299740 \, \text{Pa} \times 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2 \approx 588 \, \text{N}$$

Resum dels resultats

a) Hem d’introduir líquid aproximadament $5$ vegades.

b) La pressió del líquid és aproximadament $299740$ Pa.

c) El treball realitzat és $14715$ J.

d) La força que suporta la superfície del cilindre petit és $588$ N i la del cilindre gran és $14715$ N.