Gat hidràulic 2

Disposam d’un gat hidràulic per aixecar vehicles. El diàmetre de l’èmbol petit és de $50$ cm, la pressió a l’èmbol és de $50$ kPa. Si el diàmetre de l’èmbol gros és d’$1$ m, a) quina força es fa a l’èmbol petit?, quina massa té el vehicle situat a l’èmbol gros? b) si l’èmbol petit fa un recorregut de $60$ cm, quina alçada puja el vehicle? c) si amb $30$ manxades aixecam el vehicle $70$ cm, quants de litres s’injecten al gat en cada manxada?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem els principis bàsics de la hidràulica.

Dades del problema

• Diàmetre de l’èmbol petit $d_1 = 50$ cm $= 0.5$ m
• Pressió a l’èmbol petit $p_1 = 50$ kPa $= 50 \times 10^3$ Pa
• Diàmetre de l’èmbol gros $d_2 = 1$ m
• Recorregut de l’èmbol petit $h_1 = 60$ cm $= 0.6$ m
• Alçada que puja el vehicle $h_2 = 70$ cm $= 0.7$ m
• Nombre de manxades $n = 30$

Càlculs preliminars

Àrees dels èmbols

1. Àrea de l’èmbol petit $A_1$:
   $$A_1 = \pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0.5}{2}\right)^2 = \pi \left(0.25\right)^2 = \pi \times 0.0625 \approx 0.19635 \, \text{m}^2$$
2. Àrea de l’èmbol gros $A_2$:
   $$A_2 = \pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \pi \left(0.5\right)^2 = \pi \times 0.25 \approx 0.7854 \, \text{m}^2$$

Apartat a) Quina força es fa a l’èmbol petit? Quina massa té el vehicle situat a l’èmbol gros?

1. Força a l’èmbol petit $F_1$:
   $$F_1 = p_1 \times A_1 = 50 \times 10^3 \, \text{Pa} \times 0.19635 \, \text{m}^2 = 9817.5 \, \text{N}$$
2. Pressió transmès a l’èmbol gros $p_2 = p_1$ (per principi de Pascal)
3. Força a l’èmbol gros $F_2$:
   $$F_2 = p_2 \times A_2 = 50 \times 10^3 \, \text{Pa} \times 0.7854 \, \text{m}^2 = 39270 \, \text{N}$$
4. Massa del vehicle $m$:
   $$F_2 = m \times g \implies m = \frac{F_2}{g} = \frac{39270 \, \text{N}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 4002 \, \text{kg}$$

Apartat b) Si l’èmbol petit fa un recorregut de $60$ cm, quina alçada puja el vehicle?

Utilitzem el principi de conservació del volum. El volum de líquid desplaçat per l’èmbol petit ha de ser igual al volum de líquid desplaçat per l’èmbol gros.

1. Volum desplaçat per l’èmbol petit $V_1$:
   $$V_1 = A_1 \times h_1 = 0.19635 \, \text{m}^2 \times 0.6 \, \text{m} = 0.11781 \, \text{m}^3$$
2. Alçada que puja el vehicle $h_2$:
   $$V_1 = A_2 \times h_2 \implies h_2 = \frac{V_1}{A_2} = \frac{0.11781 \, \text{m}^3}{0.7854 \, \text{m}^2} \approx 0.15 \, \text{m} = 15 \, \text{cm}$$

Apartat c) Si amb $30$ manxades aixecam el vehicle $70$ cm, quants de litres s’injecten al gat en cada manxada?

1. Volum total de líquid desplaçat $V_{\text{total}}$:
   $$V_{\text{total}} = A_2 \times h_2 = 0.7854 \, \text{m}^2 \times 0.7 \, \text{m} = 0.54978 \, \text{m}^3$$
2. Volum per manxada $V_{\text{manxada}}$:
   $$V_{\text{manxada}} = \frac{V_{\text{total}}}{n} = \frac{0.54978 \, \text{m}^3}{30} = 0.018326 \, \text{m}^3$$
3. Convertim el volum per manxada a litres:
   $$V_{\text{manxada}} = 0.018326 \, \text{m}^3 \times 1000 \approx 18.33 \, \text{litres}$$

Resum dels resultats

a) La força a l’èmbol petit és $9817.5 \, \text{N}$ i la massa del vehicle és $4002 \, \text{kg}$.

b) Si l’èmbol petit fa un recorregut de $60$ cm, el vehicle puja $15$ cm.

c) Si amb $30$ manxades aixecam el vehicle $70$ cm, s’injecten aproximadament $18.33$ litres per manxada.