Els tatuatges i la distribució binomial

En una comunitat s’observa que un $40 \%$ de les persones porten un tatuatge. Agafant $6$ persones a l’atzar d’aquesta comunitat, considereu $X$ una variable aleatòria que indica quantes persones s’han fet algun tatuatge. a) Quina és la probabilitat que no hi hagi cap persona que porti tatuatge? b) Quina és la probabilitat que hi hagi més d’una persona que porti algun tatuatge? c) Calculeu la funció de distribució de $X$ en el punt $5$. d) Calculeu l’esperança de $X$. e) Calculeu la desviació típica de $X$.

En aquest cas, la variable aleatòria $X$ segueix una distribució binomial, ja que cada persona pot tenir o no tenir un tatuatge de forma independent amb una probabilitat fixa. La distribució binomial es defineix com $X \sim \text{Binomial}(n, p)$, on $n$ és el nombre de proves (en aquest cas, persones) i $p$ és la probabilitat d’èxit (tenir un tatuatge).

Aquí tenim:

• $n = 6$
• $p = 0.40$

a) Probabilitat que no hi hagi cap persona amb tatuatge

Volem calcular $P(X = 0)$.

La fórmula de la distribució binomial és:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k}$$

Per $k = 0$:
$$P(X = 0) = \binom{6}{0} (0.40)^0 (0.60)^6
= 1 \cdot 1 \cdot (0.60)^6
= (0.60)^6
= \approx 0.046656$$

b) Probabilitat que hi hagi més d’una persona amb tatuatge

Volem calcular $P(X > 1)$. És més fàcil calcular la probabilitat complementària, $P(X \leq 1)$.

$$P(X > 1) = 1 – P(X \leq 1)$$
$$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$$

Ja hem calculat $P(X = 0)$, ara calculem $P(X = 1)$:

$$P(X = 1) = \binom{6}{1} (0.40)^1 (0.60)^5
= 6 \cdot 0.40 \cdot (0.60)^5 = 6 \cdot 0.40 \cdot 0.07776
\approx 0.186624$$

Per tant:
$$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
= 0.046656 + 0.186624
= \approx 0.23328$$

Així:
$$P(X > 1) = 1 – 0.23328\approx 0.76672$$

c) Funció de distribució de $X$ en el punt $5$

Volem calcular $P(X \leq 5)$.

$$P(X \leq 5) = 1 – P(X = 6)$$

Calculant $P(X = 6)$:

$$P(X = 6) = \binom{6}{6} (0.40)^6 (0.60)^0= 1 \cdot (0.40)^6\approx 0.004096$$

Per tant:
$$P(X \leq 5) = 1 – P(X = 6)= 1 – 0.004096 \approx 0.995904$$

d) Esperança de $X$

L’esperança d’una variable aleatòria binomial es calcula com:
$$E(X) = n \cdot p = 6 \cdot 0.40 = 2.4$$

e) Desviació típica de $X$

La desviació típica d’una variable aleatòria binomial es calcula com:
$$\sigma_X = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)}= \sqrt{6 \cdot 0.40 \cdot 0.60}= \sqrt{6 \cdot 0.24}= \sqrt{1.44}\approx 1.2$$

En resum:
a) $P(X = 0) \approx 0.046656$
b) $P(X > 1) \approx 0.76672$
c) $P(X \leq 5) \approx 0.995904$
d) $E(X) = 2.4$
e) $\sigma_X \approx 1.2$