Twitter i la distribució normal

Twitter i la distribució normal
8 d'agost de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

En un país s’ha estudiat la comunitat de Twitter i s’ha observat que el nombre de seguidors de cada usuari es distribueix segons una llei de probabilitat normal amb una mitjana de $200$ i una desviació típica de $50$. a) Determineu el percentatge de la població que té més de $240$ seguidors. b) Determineu el percentatge de la població que té menys de $100$ seguidors. c) Determineu el percentatge de la població que té entre $180$ i $240$ seguidors. d) Calculeu el nombre de seguidors que un usuari ha de tenir per a estar dins el $10\%$ de la població amb més seguidors. e) Calculeu el nombre de seguidors que un usuari ha de tenir per a estar dins el $30\%$ de la població amb menys seguidors.

En aquest cas, la variable aleatòria $X$ que representa el nombre de seguidors dels usuaris de Twitter segueix una distribució normal amb una mitjana de $200$ i una desviació típica de $50$, és a dir, $X \sim \mathcal{N}(200, 50^2)$.

a) Percentatge de la població que té més de $240$ seguidors

Primer, calculem la puntuació $Z$ per $240$ seguidors:
$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{240 – 200}{50} = \frac{40}{50} = 0.8$$

Ara, utilitzem la taula de la distribució normal estàndard per trobar la probabilitat corresponent a $Z = 0.8$:
$$P(Z \leq 0.8) \approx 0.7881$$

La probabilitat que un usuari tingui més de $240$ seguidors és:
$$P(X > 240) = 1 – P(Z \leq 0.8) = 1 – 0.7881 = 0.2119$$$

El percentatge de la població és:
$$0.2119 \times 100 \approx 21.19\%$$

b) Percentatge de la població que té menys de $100$ seguidors

Calculem la puntuació $Z$ per $100$ seguidors:
$$Z = \frac{100 – 200}{50} = \frac{-100}{50} = -2$$

Utilitzem la taula de la distribució normal estàndard per trobar la probabilitat corresponent a $Z = -2$:
$$P(Z \leq -2) \approx 0.0228$$

El percentatge de la població és:
$$0.0228 \times 100 \approx 2.28\%$$

c) Percentatge de la població que té entre $180$ i $240$ seguidors

Calculem les puntuacions $Z$ per $180$ i $240$ seguidors:
$$Z_{180} = \frac{180 – 200}{50} = \frac{-20}{50} = -0.4$$
$$Z_{240} = \frac{240 – 200}{50} = 0.8$$

Trobarem les probabilitats corresponents utilitzant la taula de la distribució normal estàndard:
$$P(Z \leq -0.4) \approx 0.3446$$
$$P(Z \leq 0.8) \approx 0.7881$$

El percentatge de la població entre $180$ i $240$ seguidors és:
$$P(180 \leq X \leq 240) = P(Z \leq 0.8) – P(Z \leq -0.4)$$
$$P(180 \leq X \leq 240) = 0.7881 – 0.3446 = 0.4435$$

El percentatge és:
$$0.4435 \times 100 \approx 44.35\%$$

d) Nombre de seguidors per estar dins el $10\%$ de la població amb més seguidors

Necessitem trobar el valor de $X$ tal que $P(X > x) = 0.10$. Això significa que hem de trobar el percentil $90$ de la distribució normal.

El valor $Z$ corresponent al percentil $90$ és aproximadament $1.28$.

Ara, revertim la puntuació $Z$ per trobar $X$:
$$x = \mu + Z \cdot \sigma = 200 + 1.28 \cdot 50 = 200 + 64 = 264$$

e) Nombre de seguidors per estar dins el $30 \%$ de la població amb menys seguidors

Necessitem trobar el valor de $X$ tal que $P(X \leq x) = 0.30$. Això significa que hem de trobar el percentil $30$ de la distribució normal.

El valor $Z$ corresponent al percentil $30$ és aproximadament $-0.52$.

Ara, revertim la puntuació $Z$ per trobar $X$:
$$x = \mu + Z \cdot \sigma = 200 + (-0.52) \cdot 50 = 200 – 26 = 174$$

En resum:
a) El percentatge de la població que té més de $240$ seguidors és aproximadament el $21.19\%$.
b) El percentatge de la població que té menys de $100$ seguidors és aproximadament el $2.28\%$.
c) El percentatge de la població que té entre $180$ i $240$ seguidors és aproximadament el $44.35\%$.
d) Per estar dins el $10\%$ de la població amb més seguidors, un usuari ha de tenir aproximadament $264$ seguidors.
e) Per estar dins el $30\%$ de la població amb menys seguidors, un usuari ha de tenir aproximadament $174$ seguidors.

Versió en serbi

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *