Optimització del cost d’una instal·lació de cables

Volem unir el punt $M$, situat en un costat d’un carrer de 3 m d’amplada, amb el punt $N$, situat a l’altre costat i 9 m més avall, mitjançant dos cables rectes: un des de $M$ fins a un punt $P$ situat a l’altre costat del carrer, i un altre des de $P$ fins a $N$, seguint el mateix costat del carrer, segons l’esquema següent:

El cost de la instal·lació del cable $MP$ és de $12\,$€ per metre, i el del cable $PN$ és de $6\,$€ per metre.

Quin punt $P$ haurem d’escollir de manera que la connexió de $M$ amb $N$ sigui tan econòmica com sigui possible? Quin serà aquest cost mínim?

Sigui $O$ el punt de l’altra banda del carrer i a la mateixa alçada que $M$.

Sigui $x$ la distància entre $O$ i $P$.

Aplicarem el teorema de Pitàgores al triangle $MOP$, rectangle en $O$:

$$MP^2 = MO^2 + OP^2 \Rightarrow MP = \sqrt{3^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 9}$$

El tram $PN$ es troba a la mateixa banda del carrer, i com que $N$ és 9 m més avall que $M$, la distància entre $P$ i $N$ és $PN = 9 – x$.

El cost total de la instal·lació és:

$$\text{Cost} = \text{Cost}{MP} + \text{Cost}{PN} = 12 \cdot MP + 6 \cdot PN = 12\sqrt{x^2 + 9} + 6(9 – x)$$

Així doncs, la funció que hem de minimitzar és:

$$C(x) = 12\sqrt{x^2 + 9} + 54 – 6x$$

Derivem per trobar els punts crítics:

$$C'(x) = \frac{12 \cdot 2x}{2\sqrt{x^2 + 9}} – 6 = \frac{12x}{\sqrt{x^2 + 9}} – 6$$

Igualem a zero:

$$\frac{12x}{\sqrt{x^2 + 9}} – 6 = 0 \Rightarrow \frac{12x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 6 \Rightarrow \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 1$$

Elevem al quadrat:

$$\left(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}}\right)^2 = 1^2 \Rightarrow \frac{4x^2}{x^2 + 9} = 1
\Rightarrow 4x^2 = x^2 + 9 \Rightarrow 3x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3}$$

Ens quedem només amb la solució positiva $x = \sqrt{3}$, ja que la negativa no té sentit en aquest context.

Com hem elevat al quadrat, és convenient verificar que aquesta solució compleix l’equació original. Es pot comprovar fàcilment que sí.

Per assegurar-nos que $x = \sqrt{3}$ és un mínim, podem analitzar el signe de la derivada o fer la segona derivada. Com que $C'(x)$ canvia de signe de negatiu a positiu, és efectivament un mínim.

Finalment, calculem el cost mínim:

$$C(\sqrt{3}) = 12\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9} + 6(9 – \sqrt{3}) = 12\sqrt{12} + 54 – 6\sqrt{3}$$

$$C(\sqrt{3}) = 12 \cdot 2\sqrt{3} + 54 – 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} + 54 – 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} + 54$$

Així, el cost mínim és $C = 18\sqrt{3} + 54$ euros.