Problema sobre geometria analítica: rectes i plans a l’espai

Donats el pla $\pi$ d’equació:
$$x + 2y + 3z – 1 = 0,$$
la recta $r$, d’equacions paramètriques:
$$\begin{cases}
x = 2z – 3 \\
y = z + 4
\end{cases}$$
i el punt $P = (2,\ 1,\ 1)$, calculeu:

a) Una equació de la recta que passa per $P$ i és perpendicular al pla $\pi$.

b) L’equació del pla que passa per $P$ i és perpendicular a la recta $r$.

c) Una equació de la recta que passa per $P$ i talla perpendicularment la recta $r$.

d) Una equació de la recta que passa per $P$, és paral·lela al pla $\pi$, i té un vector director perpendicular al de la recta $r$.

(a) El vector $\vec{n} = (1,\,2,\,3)$ és perpendicular al pla $\pi$, i per tant serà el vector director de la recta perpendicular al pla que passa pel punt $P = (2,\ 1,\ 1)$.
Les equacions d’aquesta recta són:
$$\frac{x – 2}{1} = \frac{y – 1}{2} = \frac{z – 1}{3}$$

(b) Un vector director de la recta $r$ (donada per les equacions paramètriques $x = 2z – 3$, $y = z + 4$, $z = z$) és $\vec{v} = (2,\,1,\,1)$.
El pla que cerquem ha de ser perpendicular a $r$, per tant el seu vector normal serà $\vec{v}$.
L’equació general del pla és:
$$2x + y + z = d$$
Substituint el punt $P = (2,\,1,\,1)$ per trobar $d$:
$$2(2) + 1 + 1 = 6 \Rightarrow d = 6$$
Així doncs, l’equació del pla és:
$$2x + y + z = 6$$

(c) Busquem un punt $Q$ sobre $r$, que té la forma $Q = (2z – 3,\ z + 4,\ z)$, tal que el vector $\overrightarrow{PQ} = Q – P = (2z – 5,\ z + 3,\ z – 1)$ sigui ortogonal al vector director de $r$, $\vec{v} = (2,\ 1,\ 1)$.
Imposem la condició d’ortogonalitat:
$$(2z – 5)\cdot 2 + (z + 3)\cdot 1 + (z – 1)\cdot 1 = 0$$
$$4z – 10 + z + 3 + z – 1 = 0 \Rightarrow 6z – 8 = 0 \Rightarrow z = \frac{4}{3}$$
Aleshores:
$$Q = \left(2 \cdot \frac{4}{3} – 3,\ \frac{4}{3} + 4,\ \frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3},\ \frac{16}{3},\ \frac{4}{3}\right)$$
$$\vec{PQ} = \left(-\frac{7}{3},\ \frac{13}{3},\ \frac{1}{3}\right)$$
La recta buscada passa per $P = (2,\,1,\,1)$ i té com a vector director $\vec{PQ}$.
Les equacions de la recta són:
$$\frac{x – 2}{-7} = \frac{y – 1}{13} = \frac{z – 1}{1}$$

(d) Cerquem un vector director $\vec{w} = (a,\,b,\,c)$ que sigui ortogonal tant al vector normal del pla $\pi$, $(1,\,2,\,3)$, com al vector director de $r$, $(2,\,1,\,1)$.
Aquest vector $\vec{w}$ ha de complir:
$$(a,\,b,\,c) \cdot (1,\,2,\,3) = 0 \quad \text{i} \quad (a,\,b,\,c) \cdot (2,\,1,\,1) = 0$$
Podem trobar un vector $\vec{w}$ com a producte vectorial:
$$\vec{w} = (1,\,2,\,3) \times (2,\,1,\,1) =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= (-1,\ 5,\ -3)$$
Així, la recta que passa per $P = (2,\,1,\,1)$ i té com a vector director $\vec{w}$ té per equacions:
$$\frac{x – 2}{-1} = \frac{y – 1}{5} = \frac{z – 1}{-3}$$