Optimització de Guanys en la Producció de Salxitxes: Càlcul de la Quantitat Òptima i Guanys Obtinguts

Els costos de fabricació, $C(x)$, en euros, de certa varietat de saltxitxes depenen de la quantitat elaborada $x$ (en quilos), de manera que:$$C(x) = 10 + 2x$$El preu de venda estimat, $P(x)$, en euros, de cada quilogram de salxitxes ve donat per:$$P(x) = 20 – \frac{6x^2}{800}$$ Objectiu: 1. Obtenir la funció de guanys. 2. Determinar la quantitat de saltxitxes que cal produir per maximitzar els guanys. 3. Calcular el preu de venda i els guanys obtinguts en aquest cas.

Sigui $x$ el nombre de quilograms de saltxitxes a fabricar. El preu de venda d’un quilogram de saltxitxes és $P(x) = 20 – \frac{6x^2}{800}$.Per tant, el ingrés total obtingut per la venda de $x$ quilograms és:$$x \cdot P(x) = x \left( 20 – \frac{6x^2}{800} \right) = 20x – \frac{6x^3}{800}$$Els costos totals de fabricació són $C(x) = 10 + 2x$.Així, la funció de guanys es defineix com la diferència entre els ingressos totals i els costos totals:$$G(x) = x \cdot P(x) – C(x) = \left(20x – \frac{6x^3}{800}\right) – (10 + 2x) = -\frac{6x^3}{800} + 18x – 10$$

Problemes d’optimització: Per trobar la quantitat de salxitxes que maximitza els guanys, calculem la derivada de la funció de guanys, $G'(x)$:$$G'(x) = -\frac{18x^2}{800} + 18 = -\frac{9x^2}{400} + 18$$Per trobar els punts crítics, igualem la derivada a zero:$$G'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{9x^2}{400} + 18 = 0 \Rightarrow -\frac{9x^2}{400} = -18$$Multiplicant per 400:$$9x^2 = 18 \cdot 400 = 7200 \Rightarrow x^2 = \frac{7200}{9} = 800$$Resolent per $x$:$$x = \pm\sqrt{800} = \pm20\sqrt{2}$$Com que $x$ ha de ser positiu (no té sentit produir una quantitat negativa de saltxitxes), descartarem el valor negatiu.

Comprovació del màxim: Per determinar si el valor $x = 20\sqrt{2}$ és un màxim, calculem la segona derivada de la funció de guanys:$$G”(x) = -\frac{18x}{400}$$Com que $G”(x)$ és negativa, això implica que $x = 20\sqrt{2}$ és un màxim. Així, la quantitat de saltxitxes que cal produir per maximitzar els guanys és:$$x = 20\sqrt{2} \approx 28,28 \, \text{kg}$$

Càlcul del preu de venda i dels guanys: El preu de venda d’un quilogram de salxitxes quan es produeixen $20\sqrt{2}$ kg és:$$P(20\sqrt{2}) = 20 – \frac{6 \cdot (20\sqrt{2})^2}{800} = 20 – \frac{6 \cdot 800}{800} = 20 – 6 = 14 \, \text{€}$$Els guanys obtinguts per la venda de $20\sqrt{2} \approx 28,28 \, \text{kg}$ de saltxitxes són:$$G(20\sqrt{2}) = -\frac{6 \cdot (20\sqrt{2})^3}{800} + 18 \cdot (20\sqrt{2}) – 10 = -6 + 360 \cdot \sqrt{2} – 10 = 360 \cdot \sqrt{2} – 16$$Finalment, aproximant: $$360 \cdot \sqrt{2} – 16 \approx 493,12 \, \text{€}$$

Resultats finals:

• La quantitat òptima de salxitxes a produir per maximitzar els guanys és 28,28 kg.

• El preu de venda per quilogram serà de 14 €.

• Els guanys totals seran aproximadament 493,12 €.