Càlcul d’un pla paral·lel a dues rectes donades

Donades les rectes\begin{equation}r_1:\begin{cases}4x – y – z = 0 \\2x + y – 2z = 1\end{cases}\end{equation}\begin{equation}r_2:\begin{cases}x = y \\z = 3\end{cases}\end{equation}Calculeu l’equació del pla paral·lel a les dues rectes que passa per l’origen.

Primer, trobem un vector director de cada recta. Per a la recta $r_2$, que és donada paramètricament per $x = y$, $z = 3$, un vector director és:\begin{equation}\vec{v}_2 = (1, 1, 0)\end{equation}Per a la recta $r_1$, trobem un vector director resolent el sistema amb un paràmetre. Suposem $z = t$:\begin{equation}\begin{cases}4x – y – t = 0 \Rightarrow y = 4x – t \\2x + y – 2t = 1\end{cases}\end{equation}Substituint $y$ a la segona equació:\begin{equation}2x + (4x – t) – 2t = 1 \Rightarrow 6x – 3t = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1 + 3t}{6}\end{equation}Llavors:\begin{equation}y = 4x – t = \dfrac{4(1 + 3t)}{6} – t = \dfrac{4 + 12t – 6t}{6} = \dfrac{4 + 6t}{6}\end{equation}Així, la recta $r_1$ té expressió paramètrica:\begin{equation}\vec{r}_1(t) = \left( \dfrac{1 + 3t}{6}, \dfrac{4 + 6t}{6}, t \right)\end{equation}Prenem dos valors per trobar un vector director. Per $t = 0$ i $t = 1$:\begin{equation}P_0 = \left( \dfrac{1}{6}, \dfrac{2}{3}, 0 \right), \quad P_1 = \left( \dfrac{4}{6}, \dfrac{10}{6}, 1 \right)\end{equation}Vector director:\begin{equation}\vec{v}_1 = P_1 – P_0 = \left( \dfrac{1}{2}, 1, 1 \right) \Rightarrow \vec{v}_1 = (1, 2, 2) \quad \text{(multiplicant per 2)}\end{equation}Ara calculem el vector normal del pla com el producte vectorial:\begin{equation}\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & 2 & 2 \\1 & 1 & 0\end{vmatrix}= \mathbf{i}(2\cdot 0 – 2\cdot 1) – \mathbf{j}(1\cdot 0 – 2\cdot 1) + \mathbf{k}(1\cdot1 – 2\cdot1)\end{equation}\begin{equation}\Rightarrow \vec{n} = (-2, 2, -1)\end{equation}Com que el pla ha de passar per l’origen $(0, 0, 0)$, l’equació del pla és:\begin{equation}-2x + 2y – z = 0 \Rightarrow \boxed{2x – 2y + z = 0}\end{equation}\textbf{Resposta final:} L’equació del pla paral·lel a les dues rectes que passa per l’origen és:\begin{equation}\boxed{2x – 2y + z = 0}\end{equation}