Projecció Ortogonal d’un Vector sobre un Subespai Lineal

Calcular la projecció ortogonal del vector \( x = (4, 2, 3, 5) \) sobre el subespai lineal \( W \subset \mathbb{R}^4 \) definit per el sistema d’equacions\[\left\{\begin{array}{l}x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0, \\x_1 – x_2 – x_3 + x_4 = 0.\end{array}\right.\]

Els vectors \( a_1 = (1, 0, 0, -1) \) i \( a_2 = (0, 1, -1, 0) \) formen un sistema fonamental de solucions i, per tant, són una base del subespai \( W \). A més, els vectors \( a_1, a_2 \) són ortogonals. Per construir la base ortonormal del subespai \( W \) és suficient dividir els vectors per les seves longituds. Obtenim\[e_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right), \quad e_2 = \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right).\]El vector\[y = (x, e_1)e_1 + (x, e_2)e_2 =\]\[= \left(\frac{4}{\sqrt{2}} – \frac{5}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) +\]\[+ \left(\frac{2}{\sqrt{2}} – \frac{3}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) =\]\[= \frac{1}{2} (-1, -1, 1, 1)\]

És la projecció ortogonal del vector \( x = (4, 2, 3, 5) \) sobre el subespai \( W \), i el vector\[z = x – y = \left(4 – \frac{1}{2}, 2 + \frac{1}{2}, 3 – \frac{1}{2}, 4 + \frac{1}{2}\right)\]és el seu component ortogonal.