Reduir forma quadràtica a forma diagonal

Reduir la forma quadràtica\[\mathscr{A}(x, x) = 2xy + 2yz + 2xz\]a la forma diagonal.

La matriu de la forma quadràtica és\[\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0\end{pmatrix}.\]El polinomi característic\[\begin{vmatrix}-\lambda & 1 & 1 \\1 & -\lambda & 1 \\1 & 1 & -\lambda\end{vmatrix} = -\lambda^3 + 3\lambda + 2\]té arrels \(\lambda_1 = 2\), \(\lambda_{2,3} = -1\). Per tant,\[\mathscr{A}(x, x) = 2x’^2 – y’^2 – z’^2.\]La construcció de la base ortonormal corresponent és més complicada.Els vectors propis de l’operador simètric \(\hat{A}\) són els vectors propis de la matriu de la forma quadràtica. Calculem-los.Sia \(\lambda = 2\). Analitzem el sistema lineal homogeni de matriu\[\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{pmatrix}.\]Totes les solucions del sistema\[-2x + y + z = 0,\]\[x – 2y + z = 0,\]\[x + y – 2z = 0\]són proporcionals al vector \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}^\top\).Sia ara \(\lambda = -1\). El sistema lineal homogeni de matriu\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]es redueix a l’equació\[x + y + z = 0\]i té dues solucions linealment independents. Escollim-les de tal manera que siguin ortogonals: \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}^\top\), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}^\top\). Es pot comprovar que els vectors columna obtinguts són ortogonals entre si. Normalitzem-los:\[\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^\top, \quad \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)^\top, \quad \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)^\top.\]

La base buscada ha estat construïda:\[\vec{i} = \frac{i + j + k}{\sqrt{3}}, \quad \vec{j} = \frac{i – 2j + k}{\sqrt{6}}, \quad \vec{k} = \frac{i – k}{\sqrt{2}}.\]