Construcció d’una Base Ortonormal mitjançant Ortogonalització

Utilitzant el mètode d’ortogonalització, construir una base ortonormal de l’espai euclidià \( E \) a partir de la base\[a_1 = (1, 2, 2), a_2 = (3, 0, 3), a_3 = (5, 1, 1).\]

Fem \( b_1 = a_1 \) i \( b_2 = a_2 – \alpha b_1 \). Perquè el vector\[b_2 = a_2 – \alpha b_1\]sigui ortogonal al vector \( b_1 \), s’ha de complir la igualtat\[0 = (a_2, b_1) – \alpha (b_1, b_1),\]d’on\[\alpha = \frac{(a_2, b_1)}{(b_1, b_1)} = \frac{(a_2, a_1)}{(a_1, a_1)} = \frac{9}{9} = 1.\]Per tant,\[b_2 = (3, 0, 3) – 1 \cdot (1, 2, 2) = (2, -2, 1).\]Perquè el vector\[b_3 = a_3 – \beta b_1 – \gamma b_2\]sigui ortogonal als vectors \( b_1 \) i \( b_2 \), és necessari que se sumin les igualtats\[0 = (a_3, b_1) – \beta (b_1, b_1), \quad 0 = (a_3, b_2) – \gamma (b_2, b_2),\]d’on\[\beta = \frac{(a_3, b_1)}{(b_1, b_1)} = \frac{9}{9} = 1, \quad \gamma = \frac{(a_3, b_2)}{(b_2, b_2)} = \frac{9}{9} = 1.\]Per tant,\[b_3 = (5, 1, 1) – 1 \cdot (1, 2, 2) – 1 \cdot (2, -2, 1) = (2, 1, -2).\]El sistema de vectors \( b_1, b_2, b_3 \) és ortogonal. Dividint cada un d’ells per la seva longitud, obtenim la base ortonormal\[e_1 = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right), e_2 = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right), e_3 = \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right).\]