Inferència estadística. Proporció d’Assistència al Cine els Caps de Setmana en una Ciutat

En una enquesta representativa realitzada a $1230$ persones d’una ciutat, es va obtenir com a resultat que $654$ d’elles van al cine els caps de setmana. Calculeu un interval de confiança, al $97\%$, per a la proporció d’assistència al cine els caps de setmana en aquesta ciutat.

La proporció mostral de persones que van al cine els caps de setmana, en una mostra de mida $n = 1230$, és de $\hat{p} = \frac{654}{1230} \approx 0,532$. Amb un nivell de confiança del $97\%$, el valor crític associat és $z_{\alpha/2} = 2,017$. Com que $n \geq 30$, $n \cdot \hat{p} = 1230 \cdot 0,532 = 654 \geq 5$ i $n \cdot (1 – \hat{p}) = 1230 \cdot 0,468 = 575,064 \geq 5$, podem utilitzar l’aproximació de De Moivre per obtenir la fórmula de l’interval de confiança per a la proporció de persones que van al cine els caps de setmana en aquesta ciutat, que és:

$$IC = \left[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} (1 – \hat{p})}{n}} \right] = \left[ 0,532 \pm 2,017 \cdot \sqrt{\frac{0,532 \cdot 0,468}{1230}} \right] \approx \left[ 0,532 \pm 0,031 \right] = [0,501, 0,563]$$

Això significa que, amb un $97\%$ de confiança, la proporció de persones que van al cine els caps de setmana en aquesta ciutat està entre el $50,1\%$ i el $56,3\%$.