Inferència estadística. Interval de confiança. Edat mitjana població

En una mostra aleatòria de $256$ individus s’ha obtingut una edat mitjana de $17,04$ anys. Se sap que la desviació típica de la població normal de la qual prové aquesta mostra és de $2$ anys. a) Obteniu un interval de confiança al $95\%$ per a l’edat mitjana de la població. b) Quina ha de ser la mida mínima de la mostra perquè l’interval de confiança corresponent, al $90\%$, tingui una amplitud màxima de $0,5$?

(Apartat a) Siguem $X$ la variable aleatòria que mesura l’”edat d’una persona, escollida a l’atzar, d’aquesta població”. D’aquesta variable sabem que $X \sim N(\mu, \sigma = 2)$, on la mitjana $\mu$ és desconeguda. S’escull una mostra de mida $n = 256$, que dóna una mitjana mostral de $\bar{x} = 17,04$ anys. Com que la població inicial és normal, l’interval de confiança sol·licitat és:

$$IC = \left[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$$

Per aplicar aquesta fórmula, cal calcular el valor crític $z_{\alpha/2}$ per a un nivell de confiança del $95\%$ (o, equivalentment, un nivell de significació $\alpha = 5\% = 0,05$). Per a això, recordem que el nombre $z_{\alpha/2}$ és l’únic nombre real que compleix que $P(Z > z_{\alpha/2}) = \alpha/2 = 0,025$, on $Z$ és una variable amb distribució normal estàndard. Com que disposem d’una taula de cues a l’esquerra, Traduïm aquesta condició amb el succés oposat, és a dir, $P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 – 0,025 = 0,975$.
Busquem aquest valor a la taula de la distribució normal estàndard, trobant el valor crític $z_{\alpha/2} = 1,96$.

D’aquesta manera, l’interval de confiança és:

$$IC = \left[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] = \left[ 17,04 \pm 1,96 \cdot \frac{2}{\sqrt{256}} \right] = \left[ 17,04 \pm 0,245 \right] = [17,0155, 17,0645]$$

Això significa que l’edat mitjana de la població està, amb un $95\%$ de confiança, entre $17,0155$ i $17,0645$ anys.

(Apartat b) D’altra banda, perquè l’amplitud de l’interval de confiança sigui $A = 0,5$ anys, l’error màxim admissible serà $E = \frac{A}{2} = 0,25$ anys. Raonant com abans però ara amb un $90\%$ de confiança, busquem a la taula de la distribució normal estàndard el valor $\frac{1 + p}{2} = \frac{1 + 0,9}{2} = 0,95$, cosa que ens proporciona el valor crític $z_{\alpha/2} = 1,645$ (serien acceptables les aproximacions per defecte $1,64$ i per excés $1,65$, tot i que nosaltres hem pres un valor intermedi). Amb aquestes dades, la mida mínima que hem de prendre en una mostra és:

$$n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 = \left( \frac{1,645 \cdot 2}{0,25} \right)^2 = (13,16)^2 \approx 173,019$$

Per tant, caldrà prendre una mostra d’almenys $174$ individus.