Anàlisi d’un circuit elèctric amb generador, línia i càrrega

Sigui un generador de 220 V, 50 Hz, connectat a una càrrega formada per una resistència de 40 $\Omega$ en sèrie amb una inductància de 90 mH. El generador es connecta a la càrrega mitjançant una línia de resistència 0.8 $\Omega$ i reactància inductiva de 1.5 $\Omega$ (a 50 Hz). Determina: a) La intensitat que travessa la càrrega b) El factor de potència c) La tensió a la càrrega d) La potència activa, reactiva i aparent a la font e) La potència activa dissipada a la línia.

Dades inicials:

• Generador: $V_g = 220 \, \text{V (RMS)}, \, f = 50 \, \text{Hz}$
• Càrrega: $R_c = 40 \, \Omega, \, L_c = 90 \, \text{mH} = 0.09 \, \text{H}$
• Línia: ($R_l = 0.8 \, \Omega, \, X_l = 1.5 \, \Omega$
• Freqüència angular: $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 50 = 314.16 \, \text{rad/s}$

Calculem la reactància inductiva de la càrrega:
\begin{equation}
X_{Lc} = \omega L_c = 314.16 \cdot 0.09 = 28.27 \, \Omega
\end{equation}

a) Intensitat que travessa la càrrega
La càrrega i la línia estan en sèrie, per tant, la impedància total és la suma de la impedància de la línia $Z_l$ i la impedància de la càrrega $Z_c$.

• Impedància de la línia:\begin{equation}Z_l = R_l + j X_l = 0.8 + j 1.5 \, \Omega\end{equation}
• Impedància de la càrrega:\begin{equation}Z_c = R_c + j X_{Lc} = 40 + j 28.27 \, \Omega\end{equation}
• Impedància total:\begin{equation}Z_{\text{total}} = Z_l + Z_c = (0.8 + 40) + j (1.5 + 28.27) = 40.8 + j 29.77 \, \Omega\end{equation}

Mòdul de la impedància total:
\begin{equation}
|Z_{\text{total}}| = \sqrt{40.8^2 + 29.77^2} = \sqrt{1664.64 + 886.37} = \sqrt{2551.01} \approx 50.51 \, \Omega
\end{equation}

Angle de la impedància:
\begin{equation}
\theta = \arctan\left(\frac{29.77}{40.8}\right) \approx \arctan(0.7297) \approx 36.13^\circ
\end{equation}

Intensitat (Llei d’Ohm):
\begin{equation}
I = \frac{V_g}{Z_{\text{total}}} = \frac{220}{50.51 \angle 36.13^\circ} = \frac{220}{50.51} \angle -36.13^\circ \approx 4.36 \angle -36.13^\circ \, \text{A}
\end{equation}

Resposta a) La intensitat que travessa la càrrega és $I \approx 4.36 \, \text{A}$.

b) Factor de potència
El factor de potència $\cos \phi$ es calcula com el cosinus de l’angle de la impedància total:
\begin{equation}
\cos \phi = \cos(36.13^\circ) \approx 0.806
\end{equation}

Resposta b) El factor de potència és $\cos \phi \approx 0.806$ (endarrerit, ja que la impedància és inductiva).

c) Tensió a la càrrega
La tensió a la càrrega $V_c$ es calcula com:
\begin{equation}
Z_c = 40 + j 28.27 \, \Omega
\end{equation}
\begin{equation}
|Z_c| = \sqrt{40^2 + 28.27^2} = \sqrt{1600 + 799.19} \approx \sqrt{2399.19} \approx 48.98 \, \Omega
\end{equation}

Angle de $Z_c$:
\begin{equation}
\theta_c = \arctan\left(\frac{28.27}{40}\right) \approx \arctan(0.7068) \approx 35.24^\circ
\end{equation}

La tensió a la càrrega és:
\begin{equation}
V_c = I \cdot Z_c = (4.36 \angle -36.13^\circ) \cdot (48.98 \angle 35.24^\circ)
\end{equation}
\begin{equation}
|V_c| = 4.36 \cdot 48.98 \approx 213.55 \, \text{V}
\end{equation}
\begin{equation}
\angle V_c = -36.13^\circ + 35.24^\circ \approx -0.89^\circ
\end{equation}

Resposta c) La tensió a la càrrega és $V_c \approx 213.55 \, \text{V}$.

d) Potència activa, reactiva i aparent a la font

La potència aparent ($S$) a la font es calcula com: $$S = V_g \cdot I^*$$
On $I^*$ és el conjugat de la intensitat. Com $I = 4.36 \angle -36.13^\circ$, el conjugat és $I^* = 4.36 \angle 36.13^\circ$.

Mòdul de la potència aparent:
\begin{equation}
|S| = V_g \cdot I = 220 \cdot 4.36 \approx 959.2 \, \text{VA}
\end{equation}

Potència activa ($P$):
\begin{equation}
P = |S| \cdot \cos \phi = 959.2 \cdot 0.806 \approx 773.1 \, \text{W}
\end{equation}

Potència reactiva ($Q$):
\begin{equation}
Q = |S| \cdot \sin \phi = 959.2 \cdot \sin(36.13^\circ) \approx 959.2 \cdot 0.591 \approx 566.7 \, \text{var}
\end{equation}

Resposta d)

• Potència activa: $P \approx 773.1 \, \text{W}$
• Potència reactiva: $Q \approx 566.7 \, \text{var}$
• Potència aparent: $S \approx 959.2 \, \text{VA}$

e) Potència activa dissipada a la línia
La potència activa dissipada a la línia es calcula com:
\begin{equation}
P_l = I^2 \cdot R_l
\end{equation}
On $I = 4.36 \, \text{A}$ i $R_l = 0.8 \, \Omega$:
\begin{equation}
P_l = (4.36)^2 \cdot 0.8 \approx 19.01 \cdot 0.8 \approx 15.21 \, \text{W}
\end{equation}

Resposta e) La potència activa dissipada a la línia és $P_l \approx 15.21 \, \text{W}$.

Resum de respostes

• [a)] Intensitat: $4.36 \, \text{A}$
• [b)] Factor de potència: $0.806$ (endarrerit)
• [c)] Tensió a la càrrega: $213.55 \, \text{V}$
• [d)] Potència activa: $773.1 \, \text{W}$, reactiva: $566.7 \, \text{var}$, aparent: $959.2 \, \text{VA}$
• [e)] Potència activa dissipada a la línia: $15.21 \, \text{W}$