Càlcul de la Mida Mínima de la Mostra per a un Interval de Confiança

El salari dels treballadors d’una ciutat segueix una distribució normal amb una desviació típica de 15 euros. Es vol calcular un interval de confiança per al salari mitjà amb un nivell de confiança del $98\%$. Determineu quina és la mida mínima de la mostra que caldria recollir perquè l’interval de confiança tingui una amplitud màxima de $6$ euros.

Siguem $X$ la variable aleatòria que mesura el “salari (en euros) d’un treballador, escollit a l’atzar”. Segons indica el problema, aquesta variable segueix una distribució $X \sim N(\mu, \sigma = 15)$, on la mitjana $\mu$ és desconeguda. Per a un nivell de confiança $p = 0,98$, el valor crític corresponent és $z_{\alpha/2} = 2,326$. Si volem que l’amplitud màxima de l’interval de confiança sigui de $6$ euros, l’error màxim admissible ha de ser $E_0 = 3$ euros (cal anar amb compte, ja que el problema indica l’amplitud màxima i no l’error màxim!). Per tant, la mida mínima $n$ que hem de prendre en una mostra per tenir un error inferior a $3$ euros verifica:

$$n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E_0} \right)^2 = \left( \frac{2,326 \cdot 15}{3} \right)^2 \approx 135,014$$

Això significa que, per obtenir un error màxim de $3$ euros amb un $98\%$ de confiança, hem de prendre una mostra amb, com a mínim, $136$ treballadors.