Estimació de la Proporció de Clients i Càlcul de la Mida Mínima de la Mostra en una Cadena de Supermercats

Una cadena de supermercats vol estimar la proporció de clients que adquireixen un determinat producte. Per a això, ha pres una mostra aleatòria simple de $1000$ clients i ha observat que $300$ compraven aquest producte. a) Calculeu, amb un nivell de confiança del $95\%$, un interval de confiança per estimar la proporció de clients del supermercat que compren aquest producte. b) Si en una altra mostra la proporció de clients que compren aquest producte és de $0,25$ i l’error comès en l’estimació ha estat inferior a $0,03$, amb un nivell de confiança del $92,5\%$, calculeu la mida mínima de la mostra.

a) L’interval de confiança per estimar la proporció té la forma:

$$(p – E, p + E)$$

on l’error $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, $p = \frac{300}{1000} = 0,3$, $n = 1000$ i $z_{\alpha/2} = 1,96$ per a un nivell de confiança del $95\%$. Calculem l’error:

$$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,3(1-0,3)}{1000}} = 0,028$$

i l’interval de confiança:

$$(0,3 – 0,028, 0,3 + 0,028) = (0,272, 0,328)$$

b) Sabem que $p = 0,25$ i $E = 0,03$, i per a un nivell de confiança del $92,5\%$, $z_{\alpha/2} = 1,78$. Calculem la mida mínima de la mostra aïllant $n$ en la fórmula de l’error:

$$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

$$E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{p(1-p)}{n}$$

$$n = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{p(1-p)}{E^2} = 1,78^2 \cdot \frac{0,25(1-0,25)}{0,03^2} = 660,08$$

Per tant, la mostra ha de ser d’almenys $661$ clients.