Anàlisi de la Compatibilitat i Solucions d’un Sistema d’Equacions Lineals en Funció del Paràmetre

Estudieu la compatibilitat del següent sistema d’equacions en funció del paràmetre $\lambda$ i doneu les solucions en els casos compatibles indeterminats: $$\begin{cases}x + 2y + 3z = \lambda \\ 2x + 5y + 8z = 2\lambda – 1 \\ 3x + 8y + (\lambda^2 + 9)z = 4\lambda \end{cases}$$

Anàlisi de la compatibilitat

Per estudiar la compatibilitat del sistema, representem el sistema en forma matricial $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, on:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 8 & \lambda^2 + 9
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
\lambda \\
2\lambda – 1 \\
4\lambda
\end{pmatrix}$$

La compatibilitat del sistema depèn dels rangs de la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $[A | \mathbf{b}]$. El sistema és compatible si $\text{rang}(A) = \text{rang}([A | \mathbf{b}])$, i és indeterminat si $\text{rang}(A) < 3$ (ja que hi ha tres variables).

Pas 1: Càlcul del determinant de $A$

Calculem el determinant de $A$ per determinar quan $\text{rang}(A) < 3$:

$$\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 8 & \lambda^2 + 9
\end{vmatrix}$$

Desenvolupem segons la primera fila:

$$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}
5 & 8 \\
8 & \lambda^2 + 9
\end{vmatrix}2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 8 \\
3 & \lambda^2 + 9
\end{vmatrix}3 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 5 \\
3 & 8
\end{vmatrix}$$

• Primer menor: $\begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 8 & \lambda^2 + 9 \end{vmatrix} = 5(\lambda^2 + 9) – 8 \cdot 8 = 5\lambda^2 + 45 – 64 = 5\lambda^2 – 19$
• Segon menor: $\begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & \lambda^2 + 9 \end{vmatrix} = 2(\lambda^2 + 9) – 8 \cdot 3 = 2\lambda^2 + 18 – 24 = 2\lambda^2 – 6$
• Tercer menor: $\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot 8 – 5 \cdot 3 = 16 – 15 = 1$

Així:

$$\det(A) = (5\lambda^2 – 19) – 2(2\lambda^2 – 6) + 3 = 5\lambda^2 – 19 – 4\lambda^2 + 12 + 3 = \lambda^2 – 4$$

$$\det(A) = \lambda^2 – 4 = (\lambda – 2)(\lambda + 2)$$

El determinant és zero quan $\lambda = 2$ o $\lambda = -2$, cosa que indica que $\text{rang}(A) < 3$ per a aquests valors, podent donar lloc a un sistema indeterminat si és compatible.

Pas 2: Anàlisi de la compatibilitat amb la matriu ampliada

La matriu ampliada és:

$$[A | \mathbf{b}] = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \lambda \\
2 & 5 & 8 & 2\lambda – 1 \\
3 & 8 & \lambda^2 + 9 & 4\lambda
\end{pmatrix}$$

Fem eliminació gaussiana per determinar els rangs.

Cas 1: $\lambda = 2$

Substituïm $\lambda = 2$:

$$\begin{cases}
x + 2y + 3z = 2 \\
2x + 5y + 8z = 3 \\
3x + 8y + 13z = 8
\end{cases}$$

Matriu ampliada:

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
2 & 5 & 8 & 3 \\
3 & 8 & 13 & 8
\end{pmatrix}$$

Eliminem la primera columna:

• $R_2 \leftarrow R_2 – 2R_1$:

$$R_2: (2, 5, 8, 3) – 2(1, 2, 3, 2) = (0, 1, 2, -1)$$

• $R_3 \leftarrow R_3 – 3R_1$:

$$R_3: (3, 8, 13, 8) – 3(1, 2, 3, 2) = (0, 2, 4, 2)$$

Matriu resultant:

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & 4 & 2
\end{pmatrix}$$

• $R_3 \leftarrow R_3 – 2R_2$:

$$R_3: (0, 2, 4, 2) – 2(0, 1, 2, -1) = (0, 0, 0, 4)$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix}$$

L’última fila correspon a $0 = 4$, que és inconsistent. Per tant, per $\lambda = 2$, el sistema és incompatible ($\text{rang}(A) = 2$, $\text{rang}([A | \mathbf{b}]) = 3$).

Cas 2: $\lambda = -2$

Substituïm $\lambda = -2$:

$$\begin{cases}
x + 2y + 3z = -2 \\
2x + 5y + 8z = -5 \\
3x + 8y + 13z = -8
\end{cases}$$

Matriu ampliada:

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & -2 \\
2 & 5 & 8 & -5 \\
3 & 8 & 13 & -8
\end{pmatrix}$$

Eliminem la primera columna:

• $R_2 \leftarrow R_2 – 2R_1$:

$$R_2: (2, 5, 8, -5) – 2(1, 2, 3, -2) = (0, 1, 2, -1)$$

• $R_3 \leftarrow R_3 – 3R_1$:

$$R_3: (3, 8, 13, -8) – 3(1, 2, 3, -2) = (0, 2, 4, -2)$$

Matriu resultant:

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & 4 & -2
\end{pmatrix}$$

• $R_3 \leftarrow R_3 – 2R_2$:

$$R_3: (0, 2, 4, -2) – 2(0, 1, 2, -1) = (0, 0, 0, 0)$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$

L’última fila és $0 = 0$, indicant compatibilitat. El rang de la matriu de coeficients és $2$, i el de la matriu ampliada també és $2$. Com que $\text{rang}(A) = \text{rang}([A | \mathbf{b}]) = 2 < 3$, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

Resolució del sistema:

De la matriu reduïda:

• Segona fila: $y + 2z = -1 \implies y = -1 – 2z$
• Primera fila: $x + 2y + 3z = -2$

Substituïm $y = -1 – 2z$:

$$x + 2(-1 – 2z) + 3z = -2 \implies x – 2 – 4z + 3z = -2 \implies x – z – 2 = -2 \implies x – z = 0 \implies x = z$$

Siguem $z = t$ (paràmetre lliure). Llavors:

$$x = t, \quad y = -1 – 2t, \quad z = t$$

La solució general és:

$$(x, y, z) = (t, -1 – 2t, t), \quad t \in \mathbb{R}$$

Cas 3: $\lambda \neq \pm 2$

Quan $\lambda^2 \neq 4$, $\det(A) \neq 0$, per tant $\text{rang}(A) = 3$. Comprovem si $\text{rang}([A | \mathbf{b}]) = 3$. Com que $\det(A) \neq 0$, el sistema té una única solució si és compatible. Fem eliminació gaussiana:

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \lambda \\
2 & 5 & 8 & 2\lambda – 1 \\
3 & 8 & \lambda^2 + 9 & 4\lambda
\end{pmatrix}$$

• $R_2 \leftarrow R_2 – 2R_1$:

$$R_2: (2, 5, 8, 2\lambda – 1) – 2(1, 2, 3, \lambda) = (0, 1, 2, -1)$$

• $R_3 \leftarrow R_3 – 3R_1$:

$$R_3: (3, 8, \lambda^2 + 9, 4\lambda) – 3(1, 2, 3, \lambda) = (0, 2, \lambda^2, \lambda)$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \lambda \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & \lambda^2 & \lambda
\end{pmatrix}$$

• $R_3 \leftarrow R_3 – 2R_2$:

$$R_3: (0, 2, \lambda^2, \lambda) – 2(0, 1, 2, -1) = (0, 0, \lambda^2 – 4, \lambda + 2)$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \lambda \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & \lambda^2 – 4 & \lambda + 2
\end{pmatrix}$$

L’última fila dóna:

$$(\lambda^2 – 4)z = \lambda + 2$$

Com que $\lambda \neq \pm 2$, $\lambda^2 – 4 \neq 0$, el sistema té rang $3$ i és compatible ($\text{rang}(A) = \text{rang}([A | \mathbf{b}]) = 3$), amb una única solució (compatible determinat).

Resum de la compatibilitat

• Incompatible: $\lambda = 2$ ($\text{rang}(A) = 2$, $\text{rang}([A | \mathbf{b}]) = 3$).
• Compatible indeterminat: $\lambda = -2$, amb solució $(x, y, z) = (t, -1 – 2t, t)$, $t \in \mathbb{R}$.
• Compatible determinat: $\lambda \neq \pm 2$, amb una única solució.