Estudi de matrius: Càlcul de l’inversa a partir d’una igualtat

Siguin les matrius \[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix},\] i la matriu identitat d’ordre dos \[I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \] a) Comproveu que \begin{equation} (A – 2I)^2 = 3I. \end{equation} b) Utilitzant la igualtat anterior, trobeu la matriu inversa de \(A\) en funció de \(A\) i \(I\), i comproveu que coincideix amb la matriu \(B\).

a) Comprovació que \((A – 2I)^2 = 3I\)

Primer calculem \(A – 2I\):
\begin{equation}
A – 2I =
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}

Ara calculem el quadrat:
\begin{equation}
(A – 2I)^2 =
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\cdot 0 + 1 \cdot 3 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\
3 \cdot 0 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
= 3I.
\end{equation}

Per tant,
\[
\boxed{(A – 2I)^2 = 3I}.
\]

b) Càlcul de la matriu inversa de \(A\)

De l’equació obtinguda a l’apartat anterior,
\begin{equation}
(A – 2I)^2 = 3I,
\end{equation}
expandim el quadrat:
\begin{equation}
A^2 – 4A + 4I = 3I,
\end{equation}
de manera que:
\begin{equation}
A^2 – 4A + I = 0.
\end{equation}

Multipliquem per la matriu inversa \(A^{-1}\) (suposant que existeix) per la dreta:
\begin{equation}
A^2 A^{-1} – 4A A^{-1} + I A^{-1} = 0,
\end{equation}
que simplifica a
\begin{equation}
A – 4I + A^{-1} = 0,
\end{equation}
ja que \(A A^{-1} = I\) i \(I A^{-1} = A^{-1}\).

D’aquí obtenim:
\begin{equation}
A^{-1} = 4I – A.
\end{equation}

Finalment, comprovem que aquesta expressió coincideix amb la matriu \(B\):
\begin{equation}
4I – A =
4 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = B.
\end{equation}

\[
\boxed{A^{-1} = B}.
\]