Optimització de la producció de copes de vidre

En Giuseppe Buffaforte ha diversificat la seva producció de copes de vidre. Part de la producció la segueix fent a Murano (Itàlia), i l’altra part la produeix a la Xina. El cost total de la fabricació depèn de les quantitats de copes, $q_M$ i $q_X$, produïdes a cada ubicació ($q_M$ representa la quantitat de copes fabricades a Murano, i $q_X$ representa la quantitat de copes fabricades a la Xina). El cost total de fabricació ve donat per la següent funció: \begin{equation}C(q_M, q_X) = 2q_M^2 + q_M q_X + q_X^2 + 500\end{equation} En Giuseppe vol produir 20.000 copes, tot minimitzant els costos de producció. Quantes copes haurien de ser fabricades a cada una de les dues ubicacions per tal que en Giuseppe assoleixi el seu objectiu?

La restricció és que la producció total ha de ser de $20.000$ copes:

\begin{equation}
q_M + q_X = 20000
\end{equation}

Aïllem $q_X$:

\begin{equation}
q_X = 20000 – q_M
\end{equation}

Substituïm a la funció de cost:

\begin{aligned} C(q_M) &= 2q_M^2 + q_M(20000 – q_M) + (20000 – q_M)^2 + 500 \\ &= 2q_M^2 + 20000q_M – q_M^2 + 400000000 – 40000q_M + q_M^2 + 500 \\ &= q_M^2 – 20000q_M + 400000500 \end{aligned}

Aquesta és una funció quadràtica convexa, i el seu mínim s’assoleix al vèrtex:

\begin{equation}
q_M = \frac{20000}{2} = 10000
\end{equation}

\begin{equation}
q_X = 20000 – 10000 = 10000
\end{equation}

Resposta final

$\textbf{Per minimitzar els costos de producció, en Giuseppe hauria de fabricar:}$

• $\textbf{10.000 copes a Murano}$
• $\textbf{10.000 copes a la Xina}$