Discussió matriu segons valors del paràmetre

Discutiu el rang de la matriu següent segons els diferents valors del paràmetre $$A(a) = \begin{pmatrix}
a & 1 & -1 \\
1 & a & 2 \\
2 & -2 & a
\end{pmatrix}$$

Pas 1: Determinant de la matriu $A(a)$

Per determinar el rang de la matriu, primer calculem el seu determinant:

$$\det(A(a)) = \begin{vmatrix}
a & 1 & -1 \\
1 & a & 2 \\
2 & -2 & a
\end{vmatrix}$$

Usarem la regla de Sarrus o cofactores per calcular aquest determinant. Expandeixo pel primer fila:

$$\det(A(a)) = a \cdot \begin{vmatrix} a & 2 \\ -2 & a \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & a \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & -2 \end{vmatrix}$$

Calculem cadascun dels determinants de $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} a & 2 \\ -2 & a \end{vmatrix} = a^2 – (-4) = a^2 + 4$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot a – 2 \cdot 2 = a – 4$$

$$\begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) – 2 \cdot a = -2 – 2a$$

Substituint aquests resultats al determinant original:

$$\det(A(a)) = a \cdot (a^2 + 4) – (a – 4) + (2 + 2a)$$

Simplifiquem l’expressió:

$$\det(A(a)) = a^3 + 4a – a + 4 + 2 + 2a$$

$$\det(A(a)) = a^3 + 5a + 6$$

Per tant, tenim que:

$$\det(A(a)) = a^3 + 5a + 6$$

Pas 2: Resolució de l’equació $a^3 + 5a + 6 = 0$

Ara hem de resoldre l’equació cúbica per trobar els valors de $a$ que anul·len el determinant.

Mètode de Ruffini

Busquem solucions racionals per a l’equació cúbica $a^3 + 5a + 6 = 0$. Els possibles divisors del terme independent $6$ són $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Provem amb $a = -1$:

$$(-1)^3 + 5(-1) + 6 = -1 – 5 + 6 = 0$$

Així, $a = -1$ és una arrel. Ara factoritzem el polinomi utilitzant el mètode de Ruffini:

$$\begin{array}{r|rrrr}
-1 & 1 & 0 & 5 & 6 \\
& & -1 & 1 & -6 \\
\hline
& 1 & -1 & 4 & 0 \\
\end{array}$$

El quocient és $a^2 – a + 6$, de manera que podem escriure:

$$a^3 + 5a + 6 = (a + 1)(a^2 – a + 6)$$

L’equació $a^2 – a + 6 = 0$ no té solucions reals, ja que el discriminant $\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 – 24 = -23$ és negatiu. Això implica que no hi ha més solucions reals.

Per tant, l’única solució real és $a = -1$.

Pas 3: Discussió del rang

Ara discutim el rang de la matriu segons els valors de $a$.

• Per $a = -1$:

Substituïm $a = -1$ a la matriu $A(a)$:

$$A(-1) = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 2 \\
2 & -2 & -1
\end{pmatrix}$$

Calculem el determinant d’alguns menors:

$$\text{Menor de } 2 \times 2 \text{ (per exemple, les dues primeres files i columnes):}$$
$$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) – (1)(1) = 1 – 1 = 0$$

Busquem un altre menor de $2 \times 2$ el determinant del qual ens doni diferent de zero, $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -1\end{vmatrix} = (1)(-1) – (-1)(-2) = -1 -2 = -3\neq 0$$ per tant, el rang de la matriu és $2$ quan $a = -1$.

• Per $a \neq -1$:

Quan $a \neq -1$, $\det(A(a)) = a^3 + 5a + 6 \neq 0$, i per tant, el determinant de la matriu és diferent de zero.

Això implica que la matriu és de rang màxim, és a dir, el rang és $3$ quan $a \neq -1$.

Conclusió:

• El rang de la matriu és $\mathbf{3}$ per a tots els valors de $a$ excepte $a = -1$.
• Quan $a = -1$, el rang de la matriu és $\mathbf{2}$.