Les pomes i la distribució normal

En una pumarada la producció a quilograms de cada pomera segueix una distribució normal de mitjana $\mu = 50$ i desviació típica $\sigma = 10$ Calcula: a) La proporció d’arbres que donen entre $30$ i $60$ quilograms. b) El nombre de quilograms per arbre als quals no arriben o igualen el $60\%$ dels arbres.

En una pumarada, la producció en quilograms de cada pomer segueix una distribució normal amb mitjana $\mu$ de $50 \, \text{kg}$ i desviació estàndard $\sigma$ de $10 \, \text{kg}$.

a) Proporció d’arbres que donen entre $30$ i $60$ quilograms

1. Convertir els valors a l’escala $Z$: Utilitzem la fórmula per calcular el valor $Z$: $$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$

• Per $X = 30$: $$Z_{30} = \frac{30 – 50}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$
• Per $X = 60$: $$Z_{60} = \frac{60 – 50}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

1. Buscar les àrees corresponents a la taula de distribució normal estàndard:

• $P(Z < -2)$: Aquest valor es pot trobar a la taula de la normal estàndard o calculant: $$P(Z < -2) \approx 0.0228 \quad \text{(àrea a l’esquerra)}$$
• $P(Z < 1)$: $$P(Z < 1) \approx 0.8413 \quad \text{(àrea a l’esquerra)}$$

1. Calcular la proporció d’arbres que donen entre $30$ i $60$ quilograms: Per trobar la proporció d’arbres que donen entre $30$ i $60$ quilograms, restem les àrees: $$P(30 < X < 60) = P(Z < 1) – P(Z < -2) = 0.8413 – 0.0228 = 0.8185$$ Per tant, aproximadament el $81.85\%$ dels arbres produeixen entre $30$ i $60$ quilograms.

b) Nombre de quilograms per arbre que no arriben o igualen el $60\%$ dels arbres

1. Trobar el valor de $Z$ que correspon al $60\%$ dels arbres: Busquem el valor de $Z$ que correspon a una àrea de (0.60). Això es pot trobar a la taula Z o mitjançant la inversa de la funció normal acumulativa.

• Buscant a la taula, trobem que el valor de $Z$ que correspon al $60\%$ és aproximadament $Z \approx 0.253$.

1. Convertir el valor $Z$ a quilograms: Utilitzem la fórmula inversa per trobar $X$: $$X = \mu + Z \cdot \sigma$$ Substituint els valors: $$X = 50 + (0.253 \cdot 10) = 50 + 2.53 = 52.53 \, \text{kg}$$

Respostes Finals

• a) La proporció d’arbres que donen entre $30$ i $60$ quilograms és aproximadament $81.85\%$.
• b) El nombre de quilograms per arbre que no arriben o igualen el $60\%$ dels arbres és aproximadament $52.53$ kg.