LEMNISCATA
Matemàtiques
Una massa de $8$ kg està situada a l’origen. Calcular: A) Intensitat del camp gravitatori i potencial gravitatori al punt $(2,1)$ m. B) Força amb què atrauria una massa $m$ de $2$ kg, i energia emmagatzemada per aquesta massa. C) Treball realitzat per la força gravitatòria en traslladar la massa $m$ des del punt $(2,1)$ m al punt $(1,1)$ m.
Anem a resoldre el problema pas a pas, calculant primer el camp gravitatori i el potencial en el punt donat, després la força que actua sobre una massa i la seva energia emmagatzemada, i finalment la feina realitzada al traslladar aquesta massa.
La distància $r$ entre la massa $M$ i el punt $P(2,1)$ es calcula com:
$$r = \sqrt{(2 – 0)^2 + (1 – 0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \, \text{m}$$
La intensitat del camp gravitatori $g$ en el punt $P$ degut a la massa $M$ es calcula amb la fórmula:
$$g = \frac{G \cdot M}{r^2}$$
On $G$ és la constant de gravitat universal:
$$G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2$$
Substituint els valors:
$$g = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 8}{(\sqrt{5})^2} = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 8}{5}$$
$$g = \frac{53.392 \times 10^{-11}}{5} = 1.06784 \times 10^{-10} \, \text{N/kg}$$
El potencial gravitatori $V$ en el punt $P$ és:
$$V = -\frac{G \cdot M}{r}$$
Substituint els valors:
$$V = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 8}{\sqrt{5}} = -\frac{53.392 \times 10^{-11}}{2.236} = -2.39 \times 10^{-10} \, \text{J/kg}$$
La força gravitatoria $F$ que actua sobre la massa $m$ es calcula com:
$$F = m \cdot g$$
Substituint els valors:
$$F = 2 \cdot 1.06784 \times 10^{-10} = 2.13568 \times 10^{-10} \, \text{N}$$
L’energia potencial gravitatoria $U$ de la massa $m$ en el punt $P$ és:
$$U = m \cdot V$$
Substituint els valors:
$$U = 2 \cdot (-2.39 \times 10^{-10}) = -4.78 \times 10^{-10} \, \text{J}$$
Per calcular el treball realitzat $W$ per la força gravitòria al traslladar la massa $m$, s’utilitza la diferència d’energia potencial entre els punts inicial i final.
Calculem la distància des de la massa $M$ fins al nou punt $(1,1)$:
$$r’ = \sqrt{(1 – 0)^2 + (1 – 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \, \text{m}$$
El potencial gravitatori en $(1,1)$ és:
$$V’ = -\frac{G \cdot M}{r’} = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 8}{\sqrt{2}} = -\frac{53.392 \times 10^{-11}}{1.414} = -3.77 \times 10^{-10} \, \text{J/kg}$$
El treball és:
$$W = m \cdot (V_{(2,1)} – V_{(1,1)})$$
Substituint els valors:
$$W = 2 \cdot \left( -2.39 \times 10^{-10} – (-3.77 \times 10^{-10}) \right)$$
$$W = 2 \cdot \left( -2.39 \times 10^{-10} + 3.77 \times 10^{-10} \right)$$
$$W = 2 \cdot (1.38 \times 10^{-10}) = 2.76 \times 10^{-10} \, \text{J}$$
A) Intensitat del camp gravitatori: $g = 1.06784 \times 10^{-10} \, \text{N/kg}$
Potencial gravitatori: $V = -2.39 \times 10^{-10} \, \text{J/kg}$
B) Força gravitòria: $F = 2.13568 \times 10^{-10} \, \text{N}$
Energia potencial: $U = -4.78 \times 10^{-10} \, \text{J}$
C) Treball realitzat: $W = 2.76 \times 10^{-10} \, \text{J}$