Problema càlcul intensitat de camp gravitatori i potencial gravitatori

Problema càlcul intensitat de camp gravitatori i potencial gravitatori
17 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Camp gravitatori, Física Oscar Alex Fernandez Mora

Una massa de $8$ kg està situada a l’origen. Calcular: A) Intensitat del camp gravitatori i potencial gravitatori al punt $(2,1)$ m. B) Força amb què atrauria una massa $m$ de $2$ kg, i energia emmagatzemada per aquesta massa. C) Treball realitzat per la força gravitatòria en traslladar la massa $m$ des del punt $(2,1)$ m al punt $(1,1)$ m.


Anem a resoldre el problema pas a pas, calculant primer el camp gravitatori i el potencial en el punt donat, després la força que actua sobre una massa i la seva energia emmagatzemada, i finalment la feina realitzada al traslladar aquesta massa.

Dades del problema

  • Massa $M = 8 \, \text{kg}$ en l’origen $(0,0)$.
  • Punt on es calculen els valors: $P(2,1)$.
  • Massa $m = 2 \, \text{kg}$.

Part A: Intensitat del camp gravitatori i potencial gravitatori en el punt $(2,1)$

1. Càlcul de la distància entre $M$ i $P$

La distància $r$ entre la massa $M$ i el punt $P(2,1)$ es calcula com:

$$r = \sqrt{(2 – 0)^2 + (1 – 0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \, \text{m}$$

2. Intensitat del camp gravitatori $g$

La intensitat del camp gravitatori $g$ en el punt $P$ degut a la massa $M$ es calcula amb la fórmula:

$$g = \frac{G \cdot M}{r^2}$$

On $G$ és la constant de gravitat universal:

$$G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2$$

Substituint els valors:

$$g = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 8}{(\sqrt{5})^2} = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 8}{5}$$

$$g = \frac{53.392 \times 10^{-11}}{5} = 1.06784 \times 10^{-10} \, \text{N/kg}$$

3. Potencial gravitatori $V$

El potencial gravitatori $V$ en el punt $P$ és:

$$V = -\frac{G \cdot M}{r}$$

Substituint els valors:

$$V = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 8}{\sqrt{5}} = -\frac{53.392 \times 10^{-11}}{2.236} = -2.39 \times 10^{-10} \, \text{J/kg}$$

Part B: Força amb què atrau a una massa $m$ de $2$ kg i energia emmagatzemada

1. Força gravitatoria $F$

La força gravitatoria $F$ que actua sobre la massa $m$ es calcula com:

$$F = m \cdot g$$

Substituint els valors:

$$F = 2 \cdot 1.06784 \times 10^{-10} = 2.13568 \times 10^{-10} \, \text{N}$$

2. Energia potencial $U$

L’energia potencial gravitatoria $U$ de la massa $m$ en el punt $P$ és:

$$U = m \cdot V$$

Substituint els valors:

$$U = 2 \cdot (-2.39 \times 10^{-10}) = -4.78 \times 10^{-10} \, \text{J}$$

Part C: Treball realitzat al traslladar la massa $m$ des del punt $(2,1)$ m fins al punt $(1,1)$ m

Per calcular el treball realitzat $W$ per la força gravitòria al traslladar la massa $m$, s’utilitza la diferència d’energia potencial entre els punts inicial i final.

1. Potencial en el punt $(1,1)$

Calculem la distància des de la massa $M$ fins al nou punt $(1,1)$:

$$r’ = \sqrt{(1 – 0)^2 + (1 – 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \, \text{m}$$

El potencial gravitatori en $(1,1)$ és:

$$V’ = -\frac{G \cdot M}{r’} = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 8}{\sqrt{2}} = -\frac{53.392 \times 10^{-11}}{1.414} = -3.77 \times 10^{-10} \, \text{J/kg}$$

2. Càlcul del treball realitzat

El treball és:

$$W = m \cdot (V_{(2,1)} – V_{(1,1)})$$

Substituint els valors:

$$W = 2 \cdot \left( -2.39 \times 10^{-10} – (-3.77 \times 10^{-10}) \right)$$

$$W = 2 \cdot \left( -2.39 \times 10^{-10} + 3.77 \times 10^{-10} \right)$$

$$W = 2 \cdot (1.38 \times 10^{-10}) = 2.76 \times 10^{-10} \, \text{J}$$

Resum de Resultats

A) Intensitat del camp gravitatori: $g = 1.06784 \times 10^{-10} \, \text{N/kg}$
Potencial gravitatori: $V = -2.39 \times 10^{-10} \, \text{J/kg}$

B) Força gravitòria: $F = 2.13568 \times 10^{-10} \, \text{N}$
Energia potencial: $U = -4.78 \times 10^{-10} \, \text{J}$

C) Treball realitzat: $W = 2.76 \times 10^{-10} \, \text{J}$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *