Criteri d’Stolz

El criteri d‘Stolz és una tècnica útil per calcular límits de la forma $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ quan ${b_n}$ és una successió monòtonament creixent que tendeix a $\infty$ i ${a_n}$ no és necessàriament monòtona. El criteri es formula de la següent manera:

Si $(a_n)$ i $(b_n)$ són dues successions tal que:

• $b_n$ és monòtonament creixent i $b_n \to \infty$ quan $n \to \infty$,
• $a_n$ és una successió qualsevol,
• $\lim_{n \to \infty} (a_{n+1} – a_n)$ i $\lim_{n \to \infty} (b_{n+1} – b_n)$ existeixen,

aleshores:
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} – b_n}$$
si el límit de la dreta existeix.

Exemple

Considerem les successions:

• $a_n = n^2$
• $b_n = n$

Volem calcular el límit:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n}$$

1. Comprovem que $b_n = n$ és monòtonament creixent i tendeix a $\infty$ quan $n \to \infty$.
2. Apliquem el criteri de Stolz:

• Calculem $a_{n+1} – a_n$:
  $$a_{n+1} – a_n = (n+1)^2 – n^2 = n^2 + 2n + 1 – n^2 = 2n + 1.$$
• Calculem $b_{n+1} – b_n$:
  $$b_{n+1} – b_n = (n+1) – n = 1.$$

1. Apliquem el criteri d’Stolz:
   $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} – b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{1} = \lim_{n \to \infty} (2n + 1) = \infty.$$

Per tant, el límit original és:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n} = \infty.$$

Resum

El criteri de Stolz ens permet simplificar el càlcul de límits de la forma $\frac{a_n}{b_n}$ quan és difícil calcular-los directament. Això és especialment útil en el cas de successions que creixen a ritmes diferents.