Exercici 3. Matemàtiques aplicades a les ciències socials. PAU 2025 Sèrie 0. Catalunya

Volem saber el percentatge de persones que estarien a favor de la construcció d’un poliesportiu municipal en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de $350$ persones, $218$ de les quals es manifesten a favor de la proposta i la resta, en contra. a) Escriviu un interval de confiança del $95 \%$ per al percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu en aquesta població. Nota: Recordeu que, si $Z$ segueix una distribució normal $(0, 1)$, $P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95$. Recordeu també que, per a mostres grans, l’interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$ és donat per $\left[ \hat{p} – z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} \right]$: b) Al costat d’aquesta població hi ha dos pobles petits, que anomenarem A i B,que ta mbé es podrien beneficiar del poliesportiu. El poble A té en total $250$ habitants, dels quals $180$ estan a favor de la construcció i la resta en contra. El poble B té $175$ habitants dels quals $90$ estan a favor i la resta en contra. Escollim un individu a l’atzar d’entre tots els individus d’aquests dos pobles. Quina és la probabilitat que estigui a favor de la construcció del poliesportiu? Si sabem que aquest individu està a favor de la construcció del poliesportiu, quina és la probabilitat que sigui del poble A?

a) Escriviu un interval de confiança del $95 \%$ per al percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu en aquesta població.

La mida de la mostra és $n = 350$. L’estimació puntual de la proporció de persones que està a favor de la proposta és

$$\hat{p} = \frac{218}{350} = 0,6229.$$

L’estimació puntual de la proporció de persones a favor de la proposta és de $0,6229$, és a dir, un $62,29\%$.

Quan la mida de la mostra és gran, l’interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$ s’obté a partir de la fórmula:

$$\left[ \hat{p} – z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} \right],$$

en què, si $Z$ segueix una distribució normal $(0,1)$, $P(-z_\gamma \leq Z \leq z_\gamma) = \gamma$.

Per tant, tenim que els extrems de l’interval són:

$$\hat{p} – z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = 0,6229 – 1,96 \sqrt{\frac{0,6229(1 – 0,6229)}{350}} = 0,5721$$

i

$$\hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = 0,6229 + 1,96 \sqrt{\frac{0,6229(1 – 0,6229)}{350}} = 0,6737.$$

L’interval de confiança demanat és $[57,21\%, 67,37\%]$, és a dir, el percentatge de persones que està a favor de la proposta està entre el $57,21\%$ i el $67,37\%$, amb una confiança del $95\%$.

b) Al costat d’aquesta població hi ha dos pobles petits, que anomenarem A i B, que també es podrien beneficiar del poliesportiu. El poble A té en total $250$ habitants, dels quals $180$ estan a favor de la construcció i la resta en contra. El poble B té $175$ habitants dels quals $90$ estan a favor i la resta en contra. Escollim un individu a l’atzar d’entre tots els individus d’aquests dos pobles. Quina és la probabilitat que estigui a favor de la construcció del poliesportiu? Si sabem que aquest individu està a favor de la construcció del poliesportiu, quina és la probabilitat que sigui del poble A?

b) Considerem els esdeveniments:

• $A$ = l’individu escollit és del poble A
• $B$ = l’individu escollit és del poble B
• $F$ = l’individu està a favor de la construcció del poliesportiu

Sabem que:

$$P(A) = \frac{250}{425} = \frac{10}{17} \approx 0,5882,$$

$$P(B) = \frac{175}{425} = \frac{7}{17} \approx 0,4118.$$

Si sabem que l’individu és del poble A, la probabilitat que estigui a favor de la construcció del poliesportiu és:

$$P(F|A) = \frac{180}{250} = \frac{18}{25} = 0,7200.$$

D’altra banda, si sabem que l’individu és del poble B, la probabilitat que estigui a favor de la construcció del poliesportiu és:

$$P(F|B) = \frac{90}{175} = \frac{18}{35} = 0,5143.$$

Per tant, usant la fórmula de les probabilitats totals, tenim que la probabilitat que l’individu estigui a favor de la construcció del poliesportiu és:

$$P(F) = P(F \cap A) + P(F \cap B) = P(F|A) P(A) + P(F|B) P(B) =
\frac{18}{25} \cdot \frac{10}{17} + \frac{18}{35} \cdot \frac{7}{17} =
\frac{54}{85} = 0,6353.$$

Així doncs, la probabilitat que l’individu estigui a favor de la construcció del poliesportiu és de $0,64$.

Ara ens demanen:

$$P(A|F) = \displaystyle\frac{P(F|A) \cdot P(A)}{P(F)} =
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{18}{25} \cdot \displaystyle\frac{10}{17}}{\displaystyle\frac{54}{85}} =
\displaystyle\frac{2}{3} = 0,6667.$$

La probabilitat que l’individu sigui del poble A, si sabem que està a favor de la construcció del poliesportiu, és de $\displaystyle\frac{2}{3}$.