Exercici 2. Matemàtiques aplicades a les ciències socials. PAU 2025 Sèrie 0. Catalunya

Exercici 2. Matemàtiques aplicades a les ciències socials. PAU 2025 Sèrie 0. Catalunya
28 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Una empresa de mobles disposa de tres fàbriques que produeixen un model de sofà determinat. El mes passat es van fabricar un total de $1260$ unitats d’aquest model, i sabem que la segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes. a) Amb aquesta informació, podem determinar quants sofàs va produir cadascuna de les fàbriques? Justifiqueu la resposta. A continuació, calculeu, només amb aquesta informació, quants sofàs va produir la segona fàbrica. b) També sabem que un $10 \%$ dels sofàs produïts per la primera fàbrica, un $30 \%$ dels produïts per la segona i un $20 \%$ dels produïts per la tercera eren de color gris, i que en total es van fabricar $284$ sofàs d’aquest color. Trobeu quants sofàs va produir cada fàbrica el mes passat.

Variables i dades inicials

Sigui:

  • $x$: sofàs produïts per la primera fàbrica.
  • $y$: sofàs produïts per la segona fàbrica.
  • $z$: sofàs produïts per la tercera fàbrica.

Sabem que:

  1. El total de sofàs produïts és de $1260$ unitats.
    $$x + y + z = 1260$$
  2. La segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes, és a dir:
    $$y = x + z$$

Apartat a) Sofàs produïts per cada fàbrica

Substituïm la segona equació $y = x + z$ en la primera equació:

$$x + (x + z) + z = 1260$$

Simplifiquem:
$$2x + 2z = 1260$$

Dividim per 2:
$$x + z = 630$$

Així, sabem que:
$$y = 630$$

Per tant, la segona fàbrica va produir $630$ sofàs.

No podem determinar els valors de ( x ) i ( z ) només amb aquesta informació, ja que ens falta una equació per resoldre el sistema completament.


Apartat b) Sofàs de color gris

També sabem que:

  • Un $10 \%$ dels sofàs produïts per la primera fàbrica eren de color gris.
  • Un $30 \%$ dels sofàs produïts per la segona fàbrica eren de color gris.
  • Un $20 \%$ dels sofàs produïts per la tercera fàbrica eren de color gris.

En total, es van fabricar $284$ sofàs de color gris. Aquesta informació ens dona la següent equació:

$$0,1x + 0,3y + 0,2z = 284$$

Ara tenim el sistema d’equacions següent:

$$\begin{cases}
x + y + z = 1260 \\
x – y + z = 0 \\
0,1x + 0,3y + 0,2z = 284
\end{cases}$$

Aquest sistema ens permetrà determinar el nombre de sofàs produïts per cada fàbrica.

Fem un canvi entre la primera i la segona fila i multipliquem l’última fila per $10$. S’obté:

$$\begin{cases}
x – y + z = 0 \\
x + y + z = 1260 \\
x + 3y + 2z = 2840
\end{cases}$$

Utilitzant el mètode de Gauss, prenent les variables en l’ordre $x$, $y$, $z$, obtenim la matriu augmentada:

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & 0 \\
1 & 1 & 1 & | & 1260 \\
1 & 3 & 2 & | & 2840
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & 0 \\
0 & 2 & 0 & | & 1260 \\
0 & 4 & 1 & | & 2840
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & | & 630 \\
0 & 0 & 1 & | & 320
\end{pmatrix}$$

Podem concloure que és un sistema compatible determinat, ja que tant el rang de la matriu com el de la matriu ampliada i el nombre d’incògnites és 3.

Resolent-lo s’obté la solució $z = 320$, $y = 630$, i $x = 310$. Així doncs, la primera fàbrica va produir $310$ sofàs el mes passat, la segona en va produir $630$, i la tercera en va produir $320$.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *