LEMNISCATA
Matemàtiques
Sigui:
Sabem que:
Substituïm la segona equació $y = x + z$ en la primera equació:
$$x + (x + z) + z = 1260$$
Simplifiquem:
$$2x + 2z = 1260$$
Dividim per 2:
$$x + z = 630$$
Així, sabem que:
$$y = 630$$
Per tant, la segona fàbrica va produir $630$ sofàs.
No podem determinar els valors de ( x ) i ( z ) només amb aquesta informació, ja que ens falta una equació per resoldre el sistema completament.
També sabem que:
En total, es van fabricar $284$ sofàs de color gris. Aquesta informació ens dona la següent equació:
$$0,1x + 0,3y + 0,2z = 284$$
Ara tenim el sistema d’equacions següent:
$$\begin{cases}
x + y + z = 1260 \\
x – y + z = 0 \\
0,1x + 0,3y + 0,2z = 284
\end{cases}$$
Aquest sistema ens permetrà determinar el nombre de sofàs produïts per cada fàbrica.
Fem un canvi entre la primera i la segona fila i multipliquem l’última fila per $10$. S’obté:
$$\begin{cases}
x – y + z = 0 \\
x + y + z = 1260 \\
x + 3y + 2z = 2840
\end{cases}$$
Utilitzant el mètode de Gauss, prenent les variables en l’ordre $x$, $y$, $z$, obtenim la matriu augmentada:
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & 0 \\
1 & 1 & 1 & | & 1260 \\
1 & 3 & 2 & | & 2840
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & 0 \\
0 & 2 & 0 & | & 1260 \\
0 & 4 & 1 & | & 2840
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & | & 630 \\
0 & 0 & 1 & | & 320
\end{pmatrix}$$
Podem concloure que és un sistema compatible determinat, ja que tant el rang de la matriu com el de la matriu ampliada i el nombre d’incògnites és 3.
Resolent-lo s’obté la solució $z = 320$, $y = 630$, i $x = 310$. Així doncs, la primera fàbrica va produir $310$ sofàs el mes passat, la segona en va produir $630$, i la tercera en va produir $320$.