Exercici 1. Matemàtiques aplicades a les ciències socials. PAU 2025 Sèrie 0. Catalunya

Dues companyies de taxi, A i B, ofereixen tarifes diferents. La companyia A ofereix un cost fix de $20$ € més $0,4$ € per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia B segueix la funció $g(x) = 0,01x^2+0,1x+10$, en què $x$ representa el nombre de kilòmetres recorreguts. a) Quina de les dues companyies ofereix la tarifa més econòmica si fem un recorregut de $10$ km? I si en fem un de $80$ km? Calculeu la diferència de preu en cada cas. Hi ha cap cost fix en la tarifa de la companyia B només pel sol fet de pujar al taxi? b) Determineu per a quin nombre de kilòmetres recorreguts les dues tarifes coincideixen. Si considerem només els trajectes inferiors a aquesta quantitat, per a quin nombre de kilòmetres la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és màxima? Quina és aquesta diferència màxima de preu?

Dades inicials i funcions de preu

• Companyia A: ofereix un preu fix de $20$ € més $0,4$ € per cada km recorregut.
  $$f(x) = 20 + 0,4x$$
• Companyia B: el preu segueix la funció
  $$g(x) = 0,01x^2 + 0,1x + 10$$

on $x$ representa els kilòmetres recorreguts.

Apartat a) Comparació de tarifes per a $10$ km i $80$ km

1. Per a un recorregut de $10$ km:

• Cost amb Companyia A:
  $$f(10) = 20 + 0,4 \times 10 = 20 + 4 = 24 \, \text{€}$$
• Cost amb Companyia B:
  $$g(10) = 0,01 \times 10^2 + 0,1 \times 10 + 10 = 0,01 \times 100 + 1 + 10 = 12 \, \text{€}$$
• Diferència de preu: $24 – 12 = 12 \, \text{€}$ (més econòmica la Companyia B).

1. Per a un recorregut de $80$ km:

• Cost amb Companyia A:
  $$f(80) = 20 + 0,4 \times 80 = 20 + 32 = 52 \, \text{€}$$
• Cost amb Companyia B:
  $$g(80) = 0,01 \times 80^2 + 0,1 \times 80 + 10 = 0,01 \times 6400 + 8 + 10 = 64 + 8 + 10 = 82 \, \text{€}$$
• Diferència de preu: $82 – 52 = 30 \, \text{€}$ (més econòmica la Companyia A.

1. Cost fix en la tarifa de la Companyia B: Sí, el terme independent de la funció $g(x) = 10$ indica que hi ha un cost fix de $10$ € només pel fet de pujar al taxi de la Companyia B.

Resum del apartat a:

• Per 10 km, és més econòmica la Companyia B amb una diferència de $12$ €.
• Per 80 km, és més econòmica la Companyia A amb una diferència de $30$ €.
• Cost fix de la Companyia B: $10$ €.

Apartat b) Kilòmetres on les tarifes coincideixen

Per trobar els kilòmetres $x$ en què les tarifes són iguals, igualem les funcions de cost:
$$f(x) = g(x)$$
Això és,
$$20 + 0,4x = 0,01x^2 + 0,1x + 10$$
Reordenem l’equació per obtenir una equació quadràtica:
$$0,01x^2 – 0,3x – 10 = 0$$

Per resoldre l’equació quadràtica:

$$0,01x^2 – 0,3x – 10 = 0$$

podem utilitzar la fórmula quadràtica:

$$x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

On:

• $a = 0,01$
• $b = -0,3$
• $c = -10$

Substituïm aquests valors en la fórmula:

$$x = \displaystyle\frac{-(-0,3) \pm \sqrt{(-0,3)^2 – 4 \cdot 0,01 \cdot (-10)}}{2 \cdot 0,01} = \frac{0,3 \pm 0,7}{0,02}$$

Això ens dona dues solucions:

• $x_1 = \displaystyle\frac{0,3 + 0,7}{0,02} = 50$
• $x_2 = \displaystyle\frac{0,3 – 0,7}{0,02} = -20$ (aquesta no és vàlida, ja que no pot haver-hi una distància negativa).

Per tant, la solució és:

$$x = 50 \text{ km}$$

A $50$ km, les tarifes de les dues companyies coincideixen.

La diferència de preu entre totes dues tarifes si $x \in [0,50]$ vindrà donada per la funció:

$$D(x) = 0,4x + 20 – (0,01x^2 + 0,1x + 10) = -0,01x^2 + 0,3x + 10$$

Per trobar el màxim, calculem la derivada:

$$D'(x) = -0,02x + 0,3$$

la igualem a zero i obtenim $x = 15$.

Observem que es tracta d’un màxim perquè la derivada és positiva per a valors inferiors a $x = 15$, i, per tant, la diferència de preu és creixent, mentre que és negativa per a valors superiors a $x = 15$, i, per tant, la funció $D(x)$ és decreixent.

Quan $x = 15$, la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és de $D(15) = 12,25$ euros.